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Polynomfunktionen einfach erklärt

Klassenstufe:

Was ist eine Polynomfunktion?

Die Polynomfunktionen sind nach den linearen und den quadratischen Funktionen die erste richtig interessante Art von Funktionen im Matheunterricht!

Das Besondere an einer Polynomfunktion ist ihr Funktionsterm. Der besteht bei dieser Art von Funktion immer aus einer Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen, wie zum Beispiel:

\(f(x) = 4x^4 + 5x^3 + 2x -1\)

Die verschiedenen Hochzahlen der Variable x müssen dabei natürliche Zahlen sein. Negative Zahlen und Brüche sind also als Exponenten bei einer Polynomfunktion nicht erlaubt. So ein Funktionsterm wird Polynom genannt.

Die wichtigsten Aspekte zum Thema Polynomfunktionen findest du hier! Schon alles verstanden? Dann zur Übung schnell eine unserer Klassenarbeiten zu den Polynomfunktionen durchrechnen und mit unseren Musterlösungen vergleichen!

Was ist der Unterschied zwischen Polynomfunktionen und ganzrationalen Funktionen?

Der Begriff ganzrationale Funktion ist eine andere Bezeichnung für eine Polynomfunktion. Beide Wörter stehen also für die gleiche Art von Funktionen.

Die Bezeichnung der Polynomfunktionen als ganzrationale Funktionen soll diese Funktionsgruppe von den sogenannten gebrochenrationalen Funktionen abgrenzen. Der Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion besteht aus einem Quotienten von zwei Polynomen.

Warum gibt es Polynome verschiedenen Grades?

Die höchste Potenz der Variablen x innerhalb des Funktionsterms gibt den Grad der Polynomfunktion an. Wenn also die höchste Potenz des Funktionsterms \(x^3\) ist, dann handelt es sich um eine Funktion dritten Grades. Genauso hat eine Polynomfunktion sechsten Grades als höchste Potenz einen Term mit \(x^6\). Terme mit Hochzahlen, die größer als sechs sind, kommen hier nicht vor.

Der Grad der Polynomfunktion ist deshalb wichtig, weil er die Eigenschaften der Funktion bestimmt.

Welche Eigenschaften haben Polynomfunktionen?

Wenn es um die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen geht, dann sind damit der Funktionsverlauf, die Symmetrie und die Nullstellen gemeint.

Was sind Verlauf und Symmetrie von Polynomfunktionen?

Der Verlauf einer Polynomfunktion ist die Art und Weise, wie die Funktion von rechts nach links verläuft. Dabei ist besonders das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine x-Werte interessant. Wie du den Verlauf aus dem Funktionsterm abliest, erfährst du in unserem Lernweg zu den ganzrationalen Funktionen und ihren Eigenschaften.

Eine Polynomfunktion kann einen symmetrischen Verlauf haben. Für diese Symmetrie unterscheidet man zwei Fälle:

Achsensymmetrie

Ist die Funktion achsensymmetrisch, so kannst du die eine Hälfte der Funktion durch eine Spiegelung an der Symmetrieachse auf die andere Hälfte der Funktion abbilden. In vielen Fällen ist die Symmetrieachse so wie in diesem Beispiel die y-Achse:

Polynomfunktion mit Achsensymmetrie

 

Punktsymmetrie

Genauso kannst du die eine Hälfte einer punktsymmetrischen Funktion auf die andere Funktionshälfte abbilden, indem du sie an ihrem Symmetriepunkt spiegelst. Das ist häufig der Ursprung, so wie hier:

Polynomfunktion mit Punktsymmetrie

Wenn du den Verlauf und die Symmetrie einer Polynomfunktion kennst, kannst du dir ihren Funktionsgraphen besser vorstellen.

Was sind die Nullstellen einer Polynomfunktion?

Als Nullstellen bezeichnet man die x-Werte, bei denen die Funktion die x-Achse schneidet. Der Grad der Polynomfunktion verrät dir dabei die maximale Anzahl der Nullstellen. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat also vier oder weniger Nullstellen.

Die Nullstellen von Polynomfunktionen zu berechnen, ist manchmal gar nicht so einfach. Für ganzrationale Funktionen vom Grad 3 (oder höher) brauchst du oft die sogenannte Polynomdivision.

Die Polynomdivision ist ein spezielles Verfahren, mit dem du den Funktionsterm in ein Produkt aus Polynomen mit niedrigerem Grad zerlegen kannst. Das macht es leichter, die Nullstellen zu bestimmen.

Wofür werden Polynomfunktionen genutzt?

Die Polynomfunktionen können uns dabei helfen, den Verlauf von Straßen, Flüssen oder auch Baukonstruktionen aus der Architektur zu modellieren.

In der Mathematik sind sie außerdem wichtig, weil man sehr viele komplizierte Funktionen mit Polynomfunktionen nähern kann.