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Polynomfunktionen | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Polynomfunktionen hören sich vielleicht etwas kompliziert an, aber die einfachsten Polynomfunktionen, die quadratischen und linearen Funktionen, hast du schon kennengelernt. Bei ihnen hast du zum Beispiel Nullstellen und Scheitelpunkte bestimmt. Nun werden ganzrationale Funktionen höheren Grades, also mit Potenzen, in denen die Exponenten größer als zwei sind, untersucht. Ein zentraler Begriff dabei ist die Ableitung. Mit ihr ist es möglich, Steigungen, Extrem- und Wendepunkte zu ermitteln. Auch Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen werden ermittelt. Das Symmetrie- und Monotonieverhalten des Graphen und das Verhalten des Graphen im Unendlichen werden bestimmt. All dies wird unter dem Begriff Kurvendiskussion oder Funktionsuntersuchung zusammengefasst.

Hier findest du alles, was du zu Polynomfunktionen wissen musst. Um dich auf eine Prüfung vorzubereiten, kannst du die Klassenarbeiten zu Polynomfunktionen durchrechnen.

Polynomfunktionen – Lernwege

Polynomfunktionen – Klassenarbeiten

Welche typischen Aufgaben gibt es zu Polynomenfunktionen?

Es gibt unter anderem folgende Aufgabenstellungen bei den Polynomfunktionen, die letztendlich alle die Kurvendiskussion als Grundlage haben:

  • Innermathematische Aufgaben, bei denen nur charakteristische Punkte und Eigenschaften eines Graphen ermittelt werden, sollen gelöst werden.
  • Anwendungsaufgaben, in denen reale Sachzusammenhänge durch ein Polynom beschrieben werden, sollen analysiert werden. Dabei wird der Bereich der zulässigen Werte für die Variable oft durch den Sachzusammenhang eingeschränkt, wodurch sogenannte Randextrema entstehen können.
  • Bei Steckbriefaufgaben werden Funktionen gesucht, die bestimmte Eigenschaften erfüllen. Dabei handelt es sich um eine Form von „umgekehrter“ Kurvendiskussion. Hierbei werden auch reale Situationen und Sachzusammenhänge durch ganzrationale Funktionen modelliert.
  • Bei Extremwertproblemen werden Sachzusammenhänge durch eine Funktion beschrieben und dann müssen optimale Lösungen zu diesem Problem ermittelt werden. Hier musst du zum Beispiel minimale Oberflächen von Körpern berechnen, die ein bestimmtes Volumen haben sollen.
  • Es werden Flächeninhalte berechnet, deren Begrenzungen durch ganzrationale Funktionen beschrieben werden können. Dies geschieht dadurch, dass man versucht, die Ableitung sozusagen „umzukehren“, und damit eine Funktion findet, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.

Welche Typen von ganzrationalen Funktionen gibt es?

Ganzrationale Funktionen können in verschiedenen Formen gegeben sein.

Ein Polynom dritten Grades hat die allgemeine Form:
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

Manche Polynome kann man auch in der „Scheitelpunktform“ schreiben:
\(f(x)=a(x-c)^3+d\)

In der Produkt- oder Nullstellenform sieht die Funktionsgleichung so aus:
\(f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\)

Für Polynome höheren Grades stehen in der Funktionsgleichung entsprechend auch größere Exponenten.

Wie funktioniert Polynomdivision?

Wenn du Polynomgleichungen mithilfe der Polynomdivision lösen musst, wirst du zuerst durch systematisches Probieren versuchen, eine Lösung zu finden. Anschließend dividierst du das Polynom durch den Linearfaktor aus x minus die erratene Lösung. Diese Division funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division zweier Zahlen.
Durch die Polynomdivision zerlegst du das ursprüngliche Polynom in zwei neue Polynome von kleinerem Grad. Dadurch entstehen zwei neue Gleichungen, die in der Regel einfacher zu lösen sind als die ursprüngliche Gleichung.
Die Polynomdivision kann aber auch verwendet werden, um bei rationalen Funktionen die Asymptoten zu ermitteln.

Welche Werkzeuge brauchst du für Polynomfunktionen?

Polynomfunktionen kommen immer wieder bei der Kurvendiskussion vor. Damit du diese Aufgaben lösen kannst, musst du viele Rechentechniken anwenden können:

  • Ausklammern von Variablen, um Lösungen von Gleichung zu bestimmen; aber auch das Ausmultiplizieren von Klammertermen und die binomischen Formeln müssen beherrscht werden.
  • Quadratische Gleichungen mit der Lösungsformel lösen;
  • Substitution, um eine Gleichung auf eine einfachere und lösbare Form zu bringen;
  • Raten einer Lösung und anschließende Polynomdivision.
  • Oft werden Gleichungen aber auch mit einem grafikfähigen Taschenrechner gelöst.

Außerdem musst du auch Folgendes können:

  • Funktionswerte berechnen;
  • Graphen mit Wertetabellen zeichnen;
  • lineare Gleichungssysteme müssen gelöst werden;
  • ganzrationale Funktionen ableiten.