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Kurvendiskussion einfach erklärt

Was ist eine Kurvendiskussion?

Eine Kurvendiskussion ist die Analyse wichtiger Eigenschaften eines Funktionsgraphen. Es sollen wichtige Punkte und Eigenschaften des Graphen ermittelt werden.

Grundlage der Kurvendiskussion ist die Differenzialrechnung. Aus ihr lassen sich Kalküle ableiten, mit denen die Eigenschaften des Graphen bestimmt werden können. Das Schöne daran ist, dass solche Analysen nach klar definierten Abläufen durchgeführt werden können. Außerdem veranschaulicht die Kurvendiskussion die Möglichkeiten der Differenzialrechnung. Deshalb solltest du dich auch mit ihren Grundlagen auskennen.

Wie du eine Kurvendiskussion durchführst, wird ausführlich in den Lernwegen besprochen. Achte vor allem darauf, dass du die Zusammenhänge zwischen dem Ableitungsverhalten einer Funktion und ihrer geometrischen Bedeutung verstehst. Wenn du dann so weit bist, kannst du dein Können mit den Klassenarbeiten zur Kurvendiskussion unter Beweis stellen, die dir hier zur Verfügung stehen.

Welche Schritte umfasst eine Kurvendiskussion?

Eine Kurvendiskussion hat mehrere Schritte. Die folgende Liste gibt mögliche Schritte einer Kurvendiskussion wieder:

  • Definitions- und Wertebereich
  • Nullstellen
  • Hoch- und Tiefpunkte
  • Wende- und Sattelpunkte
  • Monotonieeigenschaften
  • Symmetrieeigenschaften
  • Asymptoten und Polstellen
  • Verhalten im Unendlichen
  • Schnittstellen mit anderen Funktionsgraphen

Um diese Dinge zu untersuchen, musst du ableiten und Grenzwerte bilden können. Diese Liste zeigt die Inhalte einer kompletten Kurvendiskussion. Je nach Aufgabenstellung und Funktionstyp müssen nicht alle dieser Eigenschaften geprüft werden. Es lohnt sich, die Aufgabe erst einmal gründlich durchzulesen. Dann solltest du die gewünschten Punkte der Kurvendiskussion Schritt für Schritt durchgehen.

Welche Arten von Kurven können bei einer Kurvendiskussion betrachtet werden?

Kurvendiskussionen können praktisch an allen Funktionen durchgeführt werden. Die einzige Voraussetzung ist ihre Differenzierbarkeit, da sich sonst einige Eigenschaften nicht prüfen lassen. In der Schule werden jedoch nur differenzierbare Funktionen betrachtet.

Polynomfunktionen

Eine wichtige Funktionsart sind die Polynomfunktionen. Sie werden auch ganzrationale Funktionen genannt und haben folgende Form:
\(f(x) = a_1 + a_2 x + a_3 x^2 + … + a_n x^{n\ -\ 1}\)

Gebrochenrationale Funktionen

Diese Funktionsart ist gewöhnlich etwas schwieriger zu diskutieren, da sie ein Bruch aus zwei Polynomfunktionen ist. Hier kann Polynomdivision vonnöten sein.

Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen

Andere Funktionen, die in der Schule eine wichtige Rolle spielen, sind Exponential- und Logarithmusfunktionen. Meist werden jedoch e-Funktionen und nicht beliebige Exponentialfunktionen behandelt. Ihre Beliebtheit in der Schulmathematik verdanken sie ihren Ableitungseigenschaften. Wenn du diese gut genug kennst und auch die grundlegenden Rechengesetze, schaffst du auch hier die Kurvendiskussion.

Wozu benötigt man Kurvendiskussionen?

Kurvendiskussionen in voller Länge kommen in der Praxis eher selten vor. Allerdings begegnen in MINT-Berufen und MINT-Fächern ähnliche Fragestellungen. Die Funktionen werden dann nur auf gerade interessante Eigenschaften untersucht.

Aufgaben in der Physik

In der Physik ist die Elektrizitätslehre eines der wichtigsten Themen. Meistens werden Stromkreis und spezielle Schaltungstypen betrachtet. Dazu gehören unter anderem Parallelschaltungen. In diese lassen sich Widerstände einsetzen. Dabei kommt die Frage auf, wie man sie einsetzen muss, damit der Gesamtwiderstand maximal ist. In dieser Form entspricht das einer Maximalwertaufgabe, die du schon aus der Kurvendiskussion kennst.

Weitere Beispiele sind Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Sie werden mithilfe von Differenzialen definiert. Auch hier lassen sich die unterschiedlichsten Zusammenhänge auf Grundlage deiner Kenntnisse aus der Kurvendiskussion herstellen.

Aufgaben in der Wirtschaft

Unternehmen können ihre Ausgaben und Einnahmen durch die unterschiedlichsten Funktionen modellieren. Aufgrund ihrer Gewinnorientierung sollen dann die Einnahmen maximiert und die Ausgaben minimiert werden. Auch das ist eine Extremwertaufgabe. Sind die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion bekannt, kann man die Erkenntnisse auch tatsächlich umsetzen.

Du siehst, die Anwendungen sind vielfältig. Deswegen konzentriere dich darauf, die innermathematischen Zusammenhänge und deren Interpretation zu verstehen.