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Was ist analytische Geometrie?

In der Mathematik handelt es sich bei der analytischen Geometrie um ein Teilgebiet der Geometrie. Um geometrische Probleme zu lösen, werden Methoden aus der linearen Algebra verwendet, besonders Vektorrechnung. Das ermöglicht es dir oft, die Probleme nur mit Rechnen zu lösen, ohne dass du unbedingt eine Veranschaulichung benötigst. In der Schule wirst du dich häufig mit der analytischen Geometrie im Raum beschäftigen. 

Wenn du dich zu diesem Thema erkundigen möchtest, dann kannst du dir die folgenden Lernwege anschauen.

Analytische Geometrie – die beliebtesten Themen

  • Punkte und Körper im Raum

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Was ist das Besondere an analytischer Geometrie?

Das Besondere an der analytischen Geometrie in Mathe ist, dass du damit sehr oft geometrische Probleme lösen kannst, ohne dass du sie veranschaulichen musst. Dazu verwendest du Objekte wie Vektoren, die aus der linearen Algebra stammen. Deshalb nennt man die analytische Geometrie auch Vektorgeometrie.

Die analytische Geometrie wird in der Ebene und auch im Raum angewendet. Im Raum nutzt man ein dreidimensionales Koordinatensystem, das eine Erweiterung des zweidimensionalen Koordinatensystems um eine dritte Dimension darstellt. Es besitzt also eine weitere Achse, die senkrecht auf den anderen beiden Achsen steht. Die Rechnungen bleiben ähnlich zum zweidimensionalen Koordinatensystem, nur dass es neben den x- und y-Werten auch z-Werte gibt.

Welche geometrischen Objekte werden in der analytischen Geometrie behandelt?

In der analytischen Geometrie werden verschiedene geometrische Objekte behandelt. Dir werden unter anderem Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen begegnen.

  • Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung von einem Startpunkt zu einem Endpunkt. Er wird grafisch durch einen Pfeil dargestellt. Vektoren haben sowohl eine Länge, den Betrag, als auch eine Richtung. Man unterscheidet zwischen Ortsvektoren, die den Koordinatenursprung als Startpunkt haben, und Richtungsvektoren, die jeden beliebigen Punkt als Startpunkt haben können.
  • Eine Gerade kennst du bereits aus zwei Dimensionen. Sie kann durch zwei Punkte beschrieben werden, durch die sie verläuft. Aber auch durch zwei Vektoren kann sie beschrieben werden. Dafür nutzt man einen Ortsvektor, der zu einem Punkt auf der Geraden zeigt, und einen Richtungsvektor, der auf der Geraden verläuft.
  • Eine Ebene ist ein unendlich großes, flaches, zweidimensionales Objekt. Ebenen können durch Vektoren beschrieben werden, indem ein Stützvektor und ein Richtungsvektor genutzt wird. Grundsätzlich unterscheidet man drei Schreibweisen von Ebenengleichungen: die Koordinatenform, die Parameterform und die Normalenform.
  • Auch Figuren und Körper im Raum, die aus den anderen genannten Objekten zusammengesetzt sind, werden dir in der analytischen Geometrie begegnen.

Wozu braucht man analytische Geometrie?

Wenn du mit Vektoren im dreidimensionalen Raum umgehen kannst, dann beherrschst du eine Grundlage der klassischen Mechanik in der Physik. Das spielt eine große Rolle in allen ingenieurstechnischen Bereichen. Zum Beispiel ergibt die Ableitung des Ortsvektors den Geschwindigkeitsvektor.

Aber auch in vielen verschiedenen anderen Bereichen des Alltags spielt die analytische Geometrie eine Rolle: In der Kunst können dir Vektoren helfen, denn sie sind ein Mittel der Raumdarstellung, um beispielsweise Architektur darzustellen. In Computergrafiken werden auch Rechnungen aus der analytischen Geometrie verwendet, um beispielsweise Räume in Computerspielen realistisch zu simulieren. Auch in der Luftfahrt spielt die analytische Geometrie eine Rolle, zum Beispiel um zu vermeiden, dass Flugzeuge kollidieren, und auch um Anflugwinkel zu bestimmen und vieles mehr. Wie du siehst, gibt es unglaublich viele verschiedene Anwendungsgebiete.