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Was ist der Dreisatz?

Der Dreisatz oder auch die Schlussrechnung ist ein mathematisches Verfahren, mit dem du aus einem bekannten Wertepaar ein weiteres bestimmen kannst. Dafür muss es immer zwei Werte geben, die voneinander abhängig sind. Diese Werte müssen sich in gleicher weise verändern. Das heißt, wenn der eine Wert sich verdoppelt oder verdreifacht, so muss ihm das der andere Wert gleichtun. Beide Werte müssen sich auch immer gemeinsam halbieren, dritteln und so weiter. Man nennt das dann einen proportionalen Zusammenhang. Die Rechnung besteht dann gewöhnlich aus drei Teilen:

  1. dem ursprüngliche Wertepaar,
  2. einem Zwischenwertepaar (das meistens eine \(1\) enthält) und
  3. dem Wertepaar mit dem gesuchten Wert.

Schau dir die Lernwege an. Dort kannst du eine Menge zum Dreisatz lernen und wann man ihn anwenden kann. Fühlst du dich fit im Umgang mit dem Dreisatz? Dann versuche doch einmal, die Klassenarbeiten zu lösen.

Was ist der Dreisatz?

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Dreisatz

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Wie du den Dreisatz anwendest

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Dreisatz anwenden

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Was du wissen musst

  • Welche Arten des Dreisatzes gibt es?

    Es gibt unterschiedliche Arten von Zuordnung: die proportionale und die antiproportionale Zuordnung. Demnach wird der Dreisatz bei Proportionalität und Antiproportionalität angewendet. Deshalb werden in der Schule zwei Arten von Dreisätzen unterschieden:

    • der normale Dreisatz und
    • der umgekehrte Dreisatz.

    Der normale Dreisatz findet immer dann Anwendung, wenn die Größen proportional Zusammenhängen. Das bedeutet: Wenn sich die eine Größe verdoppelt oder halbiert, dann verdoppelt oder halbiert sich auch die andere Größe. Die Größen haben also dasselbe Änderungsverhalten. Ein solches Verhalten findest du zum Beispiel beim Kauf von Obst und Gemüse. Je schwerer deine Ware ist, desto mehr musst du bezahlen.

    Der umkehrte Dreisatz wird hingegen bei antiproportionalen Zusammenhängen verwendet. Anti ist griechisch und heißt gegen oder entgegen. Du kannst darunter also Werte verstehen, die sich nicht proportional entwickeln, sondern genau umgekehrt. Wenn sich also die eine Größe verdoppelt oder verdreifacht, dann halbiert oder drittelt sich die andere. Das kommt zum Beispiel vor, wenn es um Arbeiten wie das Streichen von Wänden geht. Je mehr Menschen mitstreichen, desto weniger Zeit wird benötigt, bis das Zimmer fertig ist.

  • Wie erkennt man, dass der Dreisatz angewandt werden kann?

    Um das rauszufinden, musst du den Zusammenhang zwischen deinen Größen formulieren können. Kannst du die Formulierung „je mehr, desto mehr“ verwenden, dann verwendest du den normalen Dreisatz. Bei unserem Einkaufsbeispiel kann man sagen: „Je mehr Obst ich kaufe, desto mehr kostet es.“

    Kannst du den Zusammenhang mit den Worten „je mehr, desto weniger“ beschreiben, so nimmst du den umgekehrten Dreisatz. Bei dem Malerbeispiel kann man sagen: „Je mehr Maler arbeiten, desto weniger Zeit benötigt die Arbeit.“

    Wenn keine dieser Formulierungen greift, so ergibt auch der Dreisatz zum Lösen deiner Aufgabe keinen Sinn.

  • Wie kann man einen Dreisatz aufschreiben?

    Es gibt mehrere Möglichkeiten, einen Dreisatz aufzuschreiben:

    • mit drei Sätzen
    • tabellarisch

    Betrachten wir noch einmal das Beispiel mit dem Obstkauf. Stell dir vor, du stehst an einem Marktstand, der \(2 \text{ kg}\) Äpfel für \(4 \text{ €}\) verkauft. Du möchtest aber \(3 \text{ kg}\) Äpfel kaufen. Dann kannst du die Aufgabe folgendermaßen lösen:

    \(2 \text{ kg}\) Äpfel entsprechen \(4 \text{ €}\).

    \(1 \text{ kg}\) Äpfel entsprechen \(2 \text{ €}\).

    \(3 \text{ kg}\) Äpfel entsprechen \(6 \text{ €}\).

    In Kurzschreibweise mit Entsprichtzeichen heißt es dann:

    \(2 \text{ kg} \stackrel{\wedge}{=} 4 \text{ €}\\ 1 \text{ kg} \stackrel{\wedge}{=} 2 \text{ €}\\ 3 \text{ kg} \stackrel{\wedge}{=} 6 \text{ €}\)

    Gewicht in kg Preis in €
    \(2\) \(4\)
    \(1\) \(2\)
    \(3\) \(6\)
  • Wofür braucht man den Dreisatz?

    Wir haben schon zwei Beispiele besprochen, in denen der Dreisatz Anwendung findet. Für den normalen Dreisatz war das der Zusammenhang zwischen Äpfeln und Preis. Für den umgekehrten Dreisatz der Zusammenhang zwischen Arbeitern und Zeit. Ansonsten kannst du Dreisätze in verschiedensten Alltagssituationen antreffen:

    • Je mehr du von einer Sache einkaufst, desto mehr musst du bezahlen.
    • Je höher du z. B. einen Wassertank befüllen möchtest, desto mehr Wasser brauchst du.
    • Je schneller du bist, desto früher erreichst du dein Ziel.

    Beachte aber, dass der Dreisatz häufig nur ungefähr zutrifft. Um ihn z. B. beim letzten Beispiel anzuwenden, musst du auf der ganzen Strecke die gleiche Geschwindigkeit haben.