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Was ist beim Rechnen mit Prozenten zu beachten?

Wenn ein Kuchen auf mehrere Personen verteilt wird, bekommen alle ein Stück, das kleiner ist als der ganze Kuchen. Damit man nicht bei jeder Zahl null Komma irgendwas schreiben muss, verwendet man Prozent \(\%\). Prozente werden also meist benutzt, um Anteile zu beschreiben. Später wird das auch zum Beschreiben von Wachstum und Veränderungen wichtig. Prozent bedeutet immer pro Hundert. Deshalb kann man auch stets \(\frac{1}{100}\) anstelle von \(\%\) schreiben.

In diesem Lernweg findest du eine Einführung in das Thema Prozentrechnung. Du kannst dir in unserem Video anschauen, wie man mit Prozenten rechnet, und in unseren einfach zu verstehenden Übungen deine Kenntnisse anwenden. Wenn du die Prozentschreibweise sicher beherrschst, kannst du dich selbst mit unseren Klassenarbeiten zu diesem Thema testen oder dir weitere Übungen anschauen.

Die Prozentschreibweise

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Prozentschreibweise

Prozentschreibweise

Prozentschreibweise

Schlussrunde: Prozente

Schlussrunde: Prozente

Schlussrunde: Prozente

Was du wissen musst

  • Wie rechnet man mit Prozenten?

    Wenn du dich an die gleichen Regeln hältst, die du vom Rechnen mit Einheiten kennst, kannst du auch mit Prozent umgehen.

    Rechenregel

    • Du darfst Zahlen nur addieren oder subtrahieren, wenn sie die gleiche Einheit haben.
    • Du kannst eine Zahl mit Einheit mit einer weiteren Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren.

    Beispiel mit Einheit

    \(4 \, \text{kg} + 2 \, \text{kg} = 6 \, \text{kg}\)
    \(7 \, \text{cm} - 5 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}\)
    \(2 \, \text{kg} + 2 \, \text{m} = 2 \, \text{kg} + 2 \, \text{m}\)
     

    \(5 \,€ \cdot 2 = 10 \,€\)
    \(\frac{18 \, \text{l}}{3} = 6 \, \text{l}\)

    Beispiel mit Prozent

    \(40 \,\% + 20 \,\% = 60 \,\%\)
    \(70 \,\% - 50 \,\% = 20 \,\%\)
    \(20 \,\% + 2 = 20 \,\% + 2\)
     

    \(5 \,\% \cdot 2 = 10 \, \%\)
    \(\frac{18 \, \%}{3} = 6 \, \%\)

     

  • Wie rechnet man Dezimalzahlen und Prozente ineinander um?

    Du kannst Dezimalzahlen und Prozente sehr leicht ineinander umrechnen. Du musst jeweils nur die angegebenen Schritte befolgen.

    Eine Dezimalzahl in Prozent umrechnen
    Für das Beispiel rechnen wir \(0{,}3\) in Prozent um.

    1. Multipliziere die Dezimalzahl mit \(\frac{100}{100}\).
      (Erlaubt, da \(100\,\% = 1\) ist.)
    2. Rechne den Ausdruck zusammen und schreib die Prozentzahl hin.

    Zusammenfassung: Multipliziere die Dezimalzahl mit 100 und schreib das \(\%\)-Zeichen dahinter.

    • \(0{,}3=0{,}3\cdot 1 = 0{,}3 \cdot 100\,\%\)
       
    • \(0{,}3 \cdot 100\,\% = 30 \,\%\)
       
    • \(0{,}3=0{,}3\cdot 100 \,\% = 30\,\%\)

    Prozent in eine Dezimalzahl umrechnen
    Für das Beispiel rechnen wir \(65\,\%\) in eine Dezimalzahl um.

    1. Schreibe \(\cdot\ \frac{1}{100}\) anstelle des \(\%\)-Zeichens.
    2. Multipliziere den Ausdruck aus.
       

    Zusammenfassung: Teile die Prozentzahl durch 100 und lass dafür das \(\%\)-Zeichen weg.

    • \(65\ \% = 65\cdot\frac{1}{100}\)
    • \(65\cdot\frac{1}{100}=0{,}65\)
       
    • \(65\ \% = 65\cdot\frac{1}{100} = 0{,}65\)
  • Wie rechnet man Brüche und Prozente ineinander um?

    Brüche und Prozente werden oft dazu verwendet, Anteile von etwas zu beschreiben. Deshalb ist es häufig nötig, sie ineinander umzuwandeln. Wenn du dich jeweils an drei Schritte hältst, klappt das ohne Probleme.

    Einen Bruch in eine Prozentzahl umwandeln
    Wir rechnen den Bruch \(\frac{1}{5}\) in eine Prozentzahl um.

    1. Erweitere den Bruch mit \(\frac{100}{100}\).
      (Erlaubt, weil \(\frac{100}{100} = \frac{1}{1} =1\))
    2. Zieh den Bruch auseinander und schreib ​​​​\(\%\) anstelle von \(\frac{1}{100}\).
    3. Berechne den Ausdruck und schreib die Prozentzahl hin.

    Zusammenfassung: Multipliziere den Bruch mit \(\frac{100}{1}\,\%\) und wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um.

    • \(\frac{1}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{100}{100}\)
       
    • \(\frac{1}{5} \cdot \frac{100}{100}= \frac{1}{5} \cdot \frac{100}{1}\cdot \frac{1}{100} =\frac{1}{5} \cdot \frac{100}{1} \,\%\)
       
    • \(\frac{1}{5} \cdot \frac{100}{1} \,\% = \frac{100}{5}\,\% = 20 \,\%\)
       
    • \(\frac{1}{5} = \frac{1}{\cancel{5}_{1}}\cdot\frac{ \cancel{100}^{20}}{ 1} \,\% = 20\,\%\)

    Eine Prozentzahl in einen Bruch umrechnen
    Es soll die Prozentzahl \(75\,\%\) in einen Bruch umgewandelt werden.

    1. Schreib \(\cdot\ \frac{1}{100}\) statt \(\%\).
    2. Schreib alles in einen Bruch.
    3. Kürze so weit wie möglich und schreib den Bruch hin.

    Zusammenfassung: Ersetz das \(\%\) durch \(\cdot\ \frac{1}{100}\) und fass so weit wie möglich zusammen.

    • \(75\,\% = 75 \cdot \frac{1}{100}\)
    • \( 75 \cdot \frac{1}{100} = \frac{75}{1} \cdot \frac{1}{100} = \frac{75\ \cdot\ 1}{1\ \cdot\ 100}=\frac{75}{100}\)
    • \(\frac{\cancel{75}^{3}}{\cancel{100}_{4}} = \frac{3}{4}\)
    • \(75\,\% = \cancel{75}^{3} \cdot \frac{1}{\cancel{100}_4}= \frac{3}{4}\)
  • Wie rechnet man Prozent von etwas?

    Manchmal sieht man einen reduzierten Preis und kennt den ursprünglichen Preis. Dank deiner neuen Fertigkeiten kannst du ausrechnen, wie viel Prozent vom Original der neue Preis ist.
    Beispiel

    • Aufgabe
      Ein Flugticket soll statt \(300 \,€\) nur noch \(240\,€\) kosten. Wie viel Prozent vom Originalpreis ist das?
    • Rechnung
      Dazu musst du den Prozentsatz \(p\) bestimmen. Wie das geht, erfährst du im Lernweg Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz.
    • Antwort
      Das Ticket kostet jetzt nur noch \(80 \,\%\) des ursprünglichen Preises.

    Hinweis: Es ist sehr wichtig, dass du daran denkst, bei der Lösung das \(\%\)-Zeichen mit aufzuschreiben.

    Falls dir diese Grundlagen schon klar sind, kannst du dich auch in weiterführenden Lernwegen umschauen, in denen du erfährst, wie man mit Geld und Zinsen rechnet.