Mit Prozenten rechnen

Was du wissen musst

• Wie rechnet man mit Prozenten?

  Wenn du dich an die gleichen Regeln hältst, die du vom Rechnen mit Einheiten kennst, kannst du auch mit Prozent umgehen.

  Rechenregel

  • Du darfst Zahlen nur addieren oder subtrahieren, wenn sie die gleiche Einheit haben.
  • Du kannst eine Zahl mit Einheit mit einer weiteren Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren.

  Beispiel mit Einheit

  \(4 \, \text{kg} + 2 \, \text{kg} = 6 \, \text{kg}\)
  \(7 \, \text{cm} - 5 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}\)
  \(2 \, \text{kg} + 2 \, \text{m} = 2 \, \text{kg} + 2 \, \text{m}\)
   

  \(5 \,€ \cdot 2 = 10 \,€\)
  \(\frac{18 \, \text{l}}{3} = 6 \, \text{l}\)

  Beispiel mit Prozent

  \(40 \,\% + 20 \,\% = 60 \,\%\)
  \(70 \,\% - 50 \,\% = 20 \,\%\)
  \(20 \,\% + 2 = 20 \,\% + 2\)
   

  \(5 \,\% \cdot 2 = 10 \, \%\)
  \(\frac{18 \, \%}{3} = 6 \, \%\)

   

• Wie rechnet man Dezimalzahlen und Prozente ineinander um?

  Du kannst Dezimalzahlen und Prozente sehr leicht ineinander umrechnen. Du musst jeweils nur die angegebenen Schritte befolgen.

  Eine Dezimalzahl in Prozent umrechnen
  Für das Beispiel rechnen wir \(0{,}3\) in Prozent um.

  1. Multipliziere die Dezimalzahl mit \(\frac{100}{100}\).
     (Erlaubt, da \(100\,\% = 1\) ist.)
  2. Rechne den Ausdruck zusammen und schreib die Prozentzahl hin.

  Zusammenfassung: Multipliziere die Dezimalzahl mit 100 und schreib das \(\%\)-Zeichen dahinter.

  • \(0{,}3=0{,}3\cdot 1 = 0{,}3 \cdot 100\,\%\)
     
  • \(0{,}3 \cdot 100\,\% = 30 \,\%\)
     

  • \(0{,}3=0{,}3\cdot 100 \,\% = 30\,\%\)

  Prozent in eine Dezimalzahl umrechnen
  Für das Beispiel rechnen wir \(65\,\%\) in eine Dezimalzahl um.

  1. Schreibe \(\cdot\ \frac{1}{100}\) anstelle des \(\%\)-Zeichens.
  2. Multipliziere den Ausdruck aus.
      

  Zusammenfassung: Teile die Prozentzahl durch 100 und lass dafür das \(\%\)-Zeichen weg.

  • \(65\ \% = 65\cdot\frac{1}{100}\)
  • \(65\cdot\frac{1}{100}=0{,}65\)
     
  • \(65\ \% = 65\cdot\frac{1}{100} = 0{,}65\)

• Wie rechnet man Brüche und Prozente ineinander um?

  Brüche und Prozente werden oft dazu verwendet, Anteile von etwas zu beschreiben. Deshalb ist es häufig nötig, sie ineinander umzuwandeln. Wenn du dich jeweils an drei Schritte hältst, klappt das ohne Probleme.

  Einen Bruch in eine Prozentzahl umwandeln
  Wir rechnen den Bruch \(\frac{1}{5}\) in eine Prozentzahl um.

  1. Erweitere den Bruch mit \(\frac{100}{100}\).
     (Erlaubt, weil \(\frac{100}{100} = \frac{1}{1} =1\))
  2. Zieh den Bruch auseinander und schreib ​​​​\(\%\) anstelle von \(\frac{1}{100}\).
  3. Berechne den Ausdruck und schreib die Prozentzahl hin.

  Zusammenfassung: Multipliziere den Bruch mit \(\frac{100}{1}\,\%\) und wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um.

  • \(\frac{1}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{100}{100}\)
     
  • \(\frac{1}{5} \cdot \frac{100}{100}= \frac{1}{5} \cdot \frac{100}{1}\cdot \frac{1}{100} =\frac{1}{5} \cdot \frac{100}{1} \,\%\)
     
  • \(\frac{1}{5} \cdot \frac{100}{1} \,\% = \frac{100}{5}\,\% = 20 \,\%\)
     
  • \(\frac{1}{5} = \frac{1}{\cancel{5}_{1}}\cdot\frac{ \cancel{100}^{20}}{ 1} \,\% = 20\,\%\)

  Eine Prozentzahl in einen Bruch umrechnen
  Es soll die Prozentzahl \(75\,\%\) in einen Bruch umgewandelt werden.

  1. Schreib \(\cdot\ \frac{1}{100}\) statt \(\%\).
  2. Schreib alles in einen Bruch.
  3. Kürze so weit wie möglich und schreib den Bruch hin.

  Zusammenfassung: Ersetz das \(\%\) durch \(\cdot\ \frac{1}{100}\) und fass so weit wie möglich zusammen.

  • \(75\,\% = 75 \cdot \frac{1}{100}\)
  • \( 75 \cdot \frac{1}{100} = \frac{75}{1} \cdot \frac{1}{100} = \frac{75\ \cdot\ 1}{1\ \cdot\ 100}=\frac{75}{100}\)
  • \(\frac{\cancel{75}^{3}}{\cancel{100}_{4}} = \frac{3}{4}\)
  • \(75\,\% = \cancel{75}^{3} \cdot \frac{1}{\cancel{100}_4}= \frac{3}{4}\)

• Wie rechnet man Prozent von etwas?

  Manchmal sieht man einen reduzierten Preis und kennt den ursprünglichen Preis. Dank deiner neuen Fertigkeiten kannst du ausrechnen, wie viel Prozent vom Original der neue Preis ist.
  Beispiel

  • Aufgabe
    Ein Flugticket soll statt \(300 \,€\) nur noch \(240\,€\) kosten. Wie viel Prozent vom Originalpreis ist das?
  • Rechnung
    Dazu musst du den Prozentsatz \(p\) bestimmen. Wie das geht, erfährst du im Lernweg Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz.
  • Antwort
    Das Ticket kostet jetzt nur noch \(80 \,\%\) des ursprünglichen Preises.

  Hinweis: Es ist sehr wichtig, dass du daran denkst, bei der Lösung das \(\%\)-Zeichen mit aufzuschreiben.

  Falls dir diese Grundlagen schon klar sind, kannst du dich auch in weiterführenden Lernwegen umschauen, in denen du erfährst, wie man mit Geld und Zinsen rechnet.