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Exponentielles Wachstum und Periodizität einfach erklärt

Was ist exponentielles Wachstum und Periodizität?

Vielleicht kommt dir dieser Moment bekannt vor: Wenn du das erste Mal einen Graphen zum exponentiellen Wachstum oder zur Periodizität im Mathematikunterricht siehst, dann scheint das auf den ersten Blick ganz schön kompliziert zu sein! Entweder steigt der Graph sehr schnell nach oben oder er geht rauf und runter in gebogenen Linien – in jedem Fall sieht das ganz anders aus als alle Funktionen, die du schon kennst. Doch keine Panik! Wir geben dir einfache Definitionen zum exponentiellen Wachstum und zur Periodizität, damit du auch diese beiden Themen schnell verstehst!

Exponentielles Wachstum bedeutet, dass sich die Ausgangsmenge immer wieder um einen gewissen Faktor ändert. Beispielsweise könnte sich deine Menge immer verdreifachen. Bei einem solchen Wachstum wird die Menge also nach einem bestimmten Zeitabstand immer wieder mit einer Zahl multipliziert.

Periodizität bei mathematischen Funktionen meint, dass sie nach einem bestimmten Abstand \(\boldsymbol p\) in \(\boldsymbol x\)-Richtung immer wieder den gleichen \(\boldsymbol y\)-Wert liefern. Eine periodische Funktion liefert also für \(x\) und \(x + p\) jeweils den gleichen Funktionswert:

\(f(x) = f(x + p)\)

Hier findest du die wichtigsten Inhalte, die du für diese beiden Themen brauchst. Schon alles verstanden? Dann prüfe dein Wissen in unseren Klassenarbeiten zum exponentiellen Wachstum und zur Periodizität!

Was bedeutet exponentielles Wachstum und Periodizität?

Die Bedeutung beider Begriffe ist sehr unterschiedlich:

Exponentielles Wachstum

Dass bei einem exponentiellen Wachstumsvorgang die Startmenge immer wieder um einen gewissen Faktor \(a\) vergrößert oder verkleinert wird, bedeutet, dass die Menge exponentiell zu- oder abnimmt. Das heißt also, dass die Veränderung der Ausgangsmenge \(N_0\) mit folgender Exponentialfunktion beschrieben werden kann:

\(N(x) = N_0\cdot a^x\)

Dabei nennt man \(a\) auch den Wachstumsfaktor. Alles, was du zu diesem speziellen Funktionstyp wissen musst, erfährst du in unseren Lernwegen zu den Exponentialfunktionen.

Das grundlegende Merkmal des exponentiellen Wachstums ist es, dass die Startmenge sehr schnell ansteigt oder abfällt. Das kannst du besonders gut erkennen, wenn du das exponentielle Wachstum mit dem linearen Wachstum vergleichst.

Periodizität

Periodische Funktionen liefern nach einem gewissen Abstand immer wieder die gleichen Funktionswerte. Das bedeutet, dass sich der Verlauf einer periodischen Funktion ständig wiederholt. Mathematisch beschreibt man solche Funktionen mit den trigonometrischen Funktionen:

  • \(\sin(x)\)
  • \(\cos(x)\)
  • \(\tan(x)\)

Falls du mehr zu diesen Funktionen lernen möchtest, kannst du dir unsere Erklärungen zu den trigonometrischen Funktionen anschauen!

Wann braucht man exponentielles Wachstum und Periodizität?

Exponentielles Wachstum begegnet dir in vielen Wissenschaften außerhalb der Mathematik, wie zum Beispiel in Physik, Medizin und Biologie. Radioaktive Elemente unterliegen beispielsweise einem exponentiellen Zerfall, Bakterien und Krebszellen wachsen dagegen exponentiell an. Auch das Kapital bzw. die Schulden bei einer Bank können einem exponentiellen Wachstumsvorgang unterliegen. Im Matheunterricht wirst du hierzu vor allem Aufgaben zum Zinseszins begegnen. Um all diese Vorgänge beschreiben zu können, musst du dich gut mit dem exponentiellen Wachstum und den Exponentialfunktionen auskennen.

Die Periodizität und die trigonometrischen Funktionen begegnen dir besonders häufig in der Mathematik bei der Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken. Damit kannst du beispielsweise fehlende Seitenlängen leicht berechnen. Das geht mit den trigonometrischen Funktionen oft sehr viel schneller als beispielsweise mit dem Satz des Pythagoras. Auch zur Bestimmung von Winkeln in verschiedenen Figuren eignen sich diese Funktionen. In Physik benötigst du die trigonometrischen Funktionen, um periodische Vorgänge mathematisch zu beschreiben. Das kann zum Beispiel das Schwingen eines Pendels sein oder auch der sinusförmige Verlauf einer Wechselspannung.