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Reelle Zahlen | einfach verstehen

Was sind reelle Zahlen?

Die reellen Zahlen sind der größte und wichtigste Zahlenbereich, dem du in der Schule im Mathematikunterricht begegnest. Er umfasst alle anderen Zahlenmengen, die du schon kennengelernt hast, wie zum Beispiel die ganzen und natürlichen Zahlen.

Per Definition sind die reellen Zahlen die Vereinigungsmenge der rationalen Zahlen ℚ und der irrationalen Zahlen. Das bedeutet, dass die reellen Zahlen genau der Menge aller Zahlen entsprechen, die auf der Zahlengeraden oder den Koordinatenachsen vorkommen: ganze Zahlen, Brüche, abbrechende und periodische Dezimalzahlen, Wurzeln und auch die nicht abbrechenden, nicht periodischen Dezimalzahlen – hier ist einfach alles dabei, was du kennst!

Man verwendet für die Zahlenmenge der reellen Zahlen das Zeichen \(\mathbb{R}\).

Hier findest du das Wichtigste zu den reellen Zahlen. Unsere Klassenarbeiten mit Musterlösungen zu den reellen Zahlen helfen dir außerdem bei der Prüfungsvorbereitung!

Welche Arten von reellen Zahlen gibt es?

Um besser verstehen zu können, was die Menge der reellen Zahlen ist, muss man sich ihre beiden Untermengen anschauen: die rationalen und die irrationalen Zahlen.

Was sind rationale Zahlen?

Als rationale Zahlen werden alle Zahlen bezeichnet, die man als Verhältnis aus zwei ganzen Zahlen darstellen kann. Damit enthalten die rationalen Zahlen neben den ganzen und natürlichen Zahlen alle abbrechenden und auch alle periodischen Dezimalzahlen. Denn alle diese Zahlen kannst du als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und Nenner schreiben.

Was ist der Unterschied zwischen reellen und rationalen Zahlen? 

Jede rationale Zahl ist automatisch eine reelle Zahl. Das erkennst du aus der Definition der reellen Zahlen. Doch Vorsicht: Die Umkehrung gilt nicht! Nicht jede reelle Zahl ist automatisch auch eine rationale Zahl. Denn eine reelle Zahl kann neben einer rationalen auch eine irrationale Zahl sein.

Was sind irrationale Zahlen?

Die irrationalen Zahlen kann man nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Sie bestehen aus allen Dezimalzahlen, die nicht abbrechend und nicht periodisch sind. Unter diesen Zahlen sind zum Beispiel die Kreiszahl \(\pi\) und alle Wurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahlen sind.

Auch wenn man diese Zahlen in ihrer Dezimalschreibweise auf eine gewisse Stelle hinter dem Komma rundet, haben sie doch unendlich viele Nachkommastellen, die unregelmäßig (also nicht periodisch) auftreten.

Was gehört dann nicht zu den reellen Zahlen? 

Ganz am Ende lernst du in der Schulmathematik vielleicht noch eine Zahlenmenge kennen, die nicht zur Menge der reellen Zahlen gehört. Das sind die sogenannten komplexen Zahlen. Mit denen kann man die Wurzeln aus negativen Zahlen berechnen.

Was berechnet man mit reellen Zahlen?

Mit reellen Zahlen kann man nicht nur die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Es geht noch mehr! Richtig interessant wird es erst beim Potenzieren, dem Wurzelziehen und dem Logarithmieren.

  • Eine Zahl \(x\) mit einer Hochzahl \(n\) zu potenzieren bedeutet, die Zahl \(x\) genau \(n\)-mal mit sich selbst zu multiplizieren: \(x^n = \underbrace{ x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n\text{-mal}}\). Um mit Potenzen zu rechnen, brauchst du vor allem die Potenzgesetze.
  • Die Umkehrung des Potenzierens ist das Radizieren, auch Wurzelziehen genannt. Falls also für eine Zahl \(x\) gilt, dass sie das Quadrat der Zahl \(a\) ist (\(x = a^2\)), dann ist die Zahl \(a\) die Quadratwurzel aus \(x\), also \(a = \sqrt{x}\).
  • Mit dem Logarithmus von der Zahl \(b\) zur Basis \(a\) (\(x = \log_a b\)) ist dagegen die Zahl \(x\) gemeint, mit der man die Zahl \(a\) potenzieren muss, um als Ergebnis \(b\) zu erhalten. Es gilt also \(a^x = b\). Ähnlich wie beim Potenzieren gibt es auch für das Logarithmieren einige Rechenregeln, die Logarithmensätze.

Auf den ersten Blick mag das Rechnen mit reellen Zahlen schwierig wirken. In unseren Lernwegen zu Potenzen, Wurzeln und Logarithmen lernst du allerdings alles, was du dafür benötigst. Mit ein bisschen Übung wirst du die verschiedenen Regeln schnell verinnerlichen und schon bald Aufgaben mit reellen Zahlen lösen können.

Wann brauchen wir reelle Zahlen im Leben? 

Da die Menge der reellen Zahlen den größten Zahlenbereich aus der Schulmathematik darstellt, sind sie für unseren Alltag in sehr vielen Bereichen unerlässlich – schließlich ist selbst die Mengenangabe im Backbuch eine reelle Zahl.

Tatsächlich rechnen musst du mit reellen Zahlen, wenn du beispielsweise einen mathematischen oder technischen Beruf ergreifst. Architekten, Bauingenieure, Fahrzeugbauer in der Luft- und Raumfahrt und auch Bankkaufleute, Finanzberater, Versicherungskaufleute und viele mehr müssen Berechnungen anstellen und hier mit reellen Zahlen arbeiten. Ob es die Flugbahn eines Flugzeugs oder die Zins- und Tilgungsberechnung für einen Kredit ist, überall rechnet man mit reellen Zahlen.