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Winkel und Winkelsätze einfach erklärt

Was sind Winkelsätze?

Winkelsätze sind einfach erklärt Aussagen und Regeln über Winkel an den Schnittpunkten von mindestens zwei Geraden. Sie helfen dir beim Lösen von Aufgaben zu Winkeln in Mathe und Physik und machen dir so das Leben leichter! Winkel und Winkelsätze sind grundlegende Bestandteile der Geometrie, denen du in der Schule etwa ab der 7. Klasse in Mathematik begegnest.

Hier findest du die wichtigsten Lerninhalte zu den Winkelsätzen. Du willst testen, ob du bereit für die nächste Mathearbeit bist? Das findest du mit unseren Klassenarbeiten zu den Winkelsätzen und unseren Klassenarbeiten zum Grad- und Bogenmaß heraus!

 

Welche Winkelsätze gibt es?

Die Gruppe der Winkelsätze besteht aus vier verschiedenen Regeln. Der Nebenwinkelsatz und der Scheitelwinkelsatz beschreiben den Zusammenhang der Winkel am Schnittpunkt zweier Geraden. Die Winkelsituation bei zwei parallelen Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden, ist durch den Stufenwinkelsatz und den Wechselwinkelsatz abgedeckt. Diese Winkelsätze lernst du etwa ab Klasse 8 kennen.

Nebenwinkelsatz

\(\alpha + \beta = 180 °\)

Die Nebenwinkel am Schnittpunkt zweier Geraden

Scheitelwinkelsatz

\(\alpha = \beta \)

Die beiden Scheitelwinkel am Schnittpunkt einer Geraden

 

 

Stufenwinkelsatz

\(\alpha = \beta \)

Die beiden Stufenwinkel an zwei parallelen Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten wird

Wechselwinkelsatz

\(\alpha = \beta \)

Die beiden Wechselwinkel an zwei parallelen Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten wird

Was sind Bogenmaß und Gradmaß von Winkeln?

Im Mathematikunterricht – oder auch im Physikunterricht – wirst du Aufgaben mit Winkeln im Bogenmaß lösen müssen. Hierzu musst du den Zusammenhang bzw. den Unterschied zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß kennen.

Gradmaß

In der Schule lernst du zuerst das Gradmaß kennen. Gemeint ist damit die Angabe eines Winkels in Grad. Ein Winkel im Gradmaß sieht also zum Beispiel so aus:

\(\alpha = 60°\)

Bogenmaß

Das Bogenmaß lernst du etwas später im Zusammenhang mit Wellen, wie etwa der Sinuswelle. Es gibt einen Winkel durch die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis an. Ein Winkel im Bogenmaß wird deshalb nicht in Grad, sondern in der Einheit Radiant (rad) angegeben. Der gleiche Winkel α sieht im Bogenmaß so aus:

\(\alpha = \frac{1}{3} \pi\text{ rad}\)

Oft wird bei den Angaben im Bogenmaß auch die Einheit weggelassen. Dann kannst du das Bogenmaß an dem \(\pi\) erkennen. Winkelangaben in denen ein \(\pi\) vorkommt sind meistens im Bogenmaß

Zusammenhang von Bogenmaß und Gradmaß

Einen Winkel kannst du immer sowohl in Grad (Gradmaß) als auch in Radiant (Bogenmaß) ausdrücken. Um von der einen Einheit in die andere Einheit zu wechseln, brauchst du diesen Zusammenhang zwischen Bogen- und Gradmaß:

\(1 \text{ rad} = \frac{360°}{2\pi} = \frac{180°}{\pi}\)

oder

\(1° = \frac{2\pi}{360} \text{ rad} = \frac{\pi}{180}\text{ rad}\)

Wann braucht man Winkelsätze im Alltag?

Winkelsätze kommen in der Schule und im Alltag zum Beispiel im Zusammenhang mit Dreiecks- und Schnittpunktberechnungen zum Einsatz. Das kann im Rahmen von Flächenberechnungen, Raumberechnungen oder auch der Straßenplanung bzw. Architektur von Bedeutung sein.