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Satz des Pythagoras

9. ‐ 10. Klasse Dauer: 45 Minuten

Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras ist ein Gesetz aus der Geometrie für alle rechtwinkligen Dreiecke. Es besagt, dass du in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse \(c\) erhältst, wenn du die Quadrate der beiden Katheten \(a\) und \(b\) addierst.

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Dieser Satz ist super praktisch. Wir zeigen dir hier, was du alles damit machen kannst, wie zum Beispiel fehlende Seitenlängen berechnen oder prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. All das kannst du mit unseren interaktiven Übungen online lernen! 

Um dich wirklich auf alle Aufgaben zum Satz des Pythagoras in Mathe vorzubereiten, kannst du dir unsere Aufgaben mit Lösungen in unseren Klassenarbeiten zum Satz des Pythagoras anschauen.

Der Satz des Pythagoras

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Satz des Pythagoras

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Satz des Pythagoras

Wie du den Satz von Pythagoras anwendest

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Wie du prüfst, ob ein Dreieck rechtwinklig ist

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Rechte Winkel überprüfen

Rechte Winkel überprüfen

Rechte Winkel überprüfen

Schlussrunde: Satz des Pythagoras

Schlussrunde: Satz des Pythagoras

Schlussrunde: Satz des Pythagoras

Was du wissen musst

  • Wie erkennt man Aufgaben zum Satz des Pythagoras?

    Das Stichwort für Aufgaben und Übungen in Mathe zum Satz des Pythagoras lautet: rechter Winkel. Denn nur für Dreiecke mit einem rechten Winkel gilt der Satz des Pythagoras. Außerdem müssen mindestens zwei Seitenlängen des Dreiecks gegeben sein. Je nachdem wie viele Seitenlängen gegeben sind, kannst du diese Aufgabentypen unterscheiden.

    • Wenn zwei Seitenlängen gegeben sind, geht es meistens darum, mit dem Satz des Pythagoras die dritte Seitenlänge zu berechnen.
    • Wenn alle drei Seitenlängen des Dreiecks gegeben sind, dann musst du wahrscheinlich prüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

    Falls du eine fehlende Seitenlänge berechnen sollst, musst du die Gleichung nach dieser Seite umstellen. Dabei denkst du daran, am Ende die Wurzel zu ziehen, denn in der Ausgangsform dieses Satzes stehen ja alle Seitenlängen im Quadrat!

    Bei Textaufgaben solltest du dir zuerst eine Zeichnung machen. Dann siehst du, ob ein rechter Winkel auftritt oder nicht und ob dir der Satz des Pythagoras weiterhilft.

  • Wie erkennt man Hypotenuse und Kathete?

    Um die Formel zum Satz des Pythagoras aufzustellen, musst du an einem Dreieck erkennen können, welche Seite die Hypotenuse und welche Seiten die beiden Katheten sind. Dafür kannst du folgende Erkennungsmerkmale verwenden:

    • Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
    • Die beiden Katheten sind die zwei kürzeren Seiten im Dreieck. Sie liegen jeweils an dem rechten Winkel des Dreiecks.
  • Wie beweist man den Satz des Pythagoras?

    Den Satz des Pythagoras kann man auf viele verschiedene Arten beweisen. Auf algebraischem Weg kannst du den Satz des Pythagoras aus dem Höhensatz oder auch dem Kathetensatz beweisen.

    Für einen einfachen geometrischen Beweis kannst du dir zum Beispiel ein Quadrat der Seitenlänge \(a + b\) anschauen. Dieses Quadrat zeichnest du dir zweimal nebeneinander auf.

    • In das eine Quadrat zeichnest du zwei Quadrate mit den Seitenlängen \(a \) und \(b\) ein.
    • In das andere Quadrat zeichnest du ein Quadrat mit der Seitenlänge \(c\) ein.

    In beiden Fällen entstehen außer diesen kleinen Quadraten noch vier Dreiecke mit den Seitenlängen \(a\)\(b\) und \(c\). Zusammen füllen die Quadrate und die Dreiecke die Fläche des äußeren Quadrats komplett aus.

     

    Beweis_Satz_des_Pythagoras.jpg
     Beweis_Satz_des_Pythagoras_geometrisch.jpg

    Weil die äußeren Quadrate aber in beiden Fällen gleich groß sind und auch die vier Dreiecke in beiden Fällen die gleiche Fläche einnehmen, folgt daraus, dass die Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen \(a\) und \(b\) zusammen genauso groß sein müssen wie der Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge \(c\). Es gilt also:

    \(a^2 + b^2 = c^2\)

  • Wozu braucht man den Satz des Pythagoras?

    Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten Sätze der Geometrie. Im Mathe- und im Physikunterricht wirst du ihm immer wieder begegnen. Im alltäglichen Leben kannst du immer dann auf ihn stoßen, wenn es um rechte Winkel geht.

    Die Griechen benutzten den Satz des Pythagoras zum Beispiel für den Hausbau. Wenn sie dabei einen rechten Winkel erzeugen wollten, nahmen sie ein Seil zu Hilfe, mit dem sie die Ecken abstecken konnten. Das Seil hatte zu Beginn, dann nach drei Metern, dann nach vier Metern und nach fünf Metern einen Knoten (\(3^2 + 4^2 = 5^2\)).

    Außerdem wurde der Satz des Pythagoras auch zur Entfernungsmessung und zur Höhenmessung benutzt.