Was du wissen musst
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Welche Eigenschaften sind beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen wichtig?
Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen sind zwei Eigenschaften besonders wichtig:
- die Gleichnamigkeit der Brüche
- das Kürzen des Ergebnisses
Erst wenn du alle Brüche durch Kürzen und Erweitern auf den gleichen Nenner gebracht hast, sprich die Brüche gleichnamig sind, kannst du sie addieren bzw. subtrahieren.
Das Kürzen der Brüche am Ende deiner Rechnung erleichtert es dir, mit dem Ergebnis weiterzurechnen. Einen gekürzten Bruch kannst du auch leichter mit anderen Brüchen vergleichen und in eine Dezimalzahl umwandeln.
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Wie erkennt man die Addition und Subtraktion von Brüchen und stellt sie dar?
Wie bei den Bruchteilen kommst du mit der Addition und Subtraktion von Brüchen in Berührung, sobald du dir etwas mit jemanden teilen möchtest.
Eine Pizza kannst du wahrscheinlich schnell gerecht auf vier Personen aufteilen: Du schneidest die Pizza in vier gleich große Stücke (\(\frac{4}{4}\)) und jeder erhält ein Stück (\(\frac{1}{4}\)) von der Pizza.
Wie sieht es nun mit drei Pizzen aus, die du dir mit drei Freunden teilen möchtest?Ihr könnt euch entweder jede Pizza nacheinander zu viert teilen. Das heißt, jeder bekommt jeweils ein Viertel von den drei verschiedenen Pizzen ab.
\(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1 \text{ }+\text{ }1 \text{ }+\text{ }1}{4}=\frac{3}{4}\)
Oder drei von euch (orange, grün und gelb) geben der vierten Person (blau), je ein Viertel ihrer Pizza ab. Sie haben somit ein Viertel weniger von ihrer ganzen Pizza.
\(1-\frac{1}{4}=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{4\text{ }-\text{ }1}{4}=\frac{3}{4}\)
Blau erhält wie oben von jeder Pizza ein Viertel und hat insgesamt \(\frac{3}{4}\) abbekommen.
Du schreibst also als Erstes die Summanden, Minuenden und Subtrahenden deiner Rechnung mit Bruchteilen, wie bei den natürlichen Zahlen, in einer Reihenfolge auf. Anschließend bringst du alle auf den gleichen Nenner und kannst die Zähler zusammenrechnen.
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Wie addiert und subtrahiert man mehrere Brüche?
Wenn du vor der Aufgabe stehst, mehrere ungleichnamige Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, dann ist die erste Herausforderung, diese auf den gleichen Nenner zu bringen.
Betrachte die Rechnung \(\frac{2}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8}\). Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten:
Methode 1 – Multiplikation der Nenner
Du kannst alle Nenner multiplizieren, die in der Rechnung vorkommen (\(3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8\)), um einen gemeinsamen Nenner zu finden. Diese Methode wird bei einer hohen Anzahl an Summanden jedoch einen sehr großen Nenner (\(720\)) hervorbringen. Die Brüche müssen dann mit einer hohen Zahlen erweitert werden (\(\frac{480}{720}+\frac{576}{720}-\frac{120}{720}+\frac{270}{720}=\frac{1206}{720}\)).
Daher ist diese Methode mit einem hohem Rechenaufwand verbunden.Methode 2 – Hauptnenner bestimmen
Übersichtlicher ist die Methode des Hauptnenners. Du zerlegst dabei die vorhandenen Nenner in ihre Primfaktoren und findest so den kleinsten gemeinsamen Teiler (kgT).
\(\begin{align} 3&=\quad\quad \quad \quad 3 \\ 5&=\quad \quad \quad \quad\quad \hspace{0.2cm} 5 \\ 6&= 2 \cdot \quad \quad \quad 3 \\ 8&= 2 \cdot 2 \cdot 2\\ \hline \text{HN} &=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \hspace{0.2cm} 3 \cdot \hspace{0.1cm} 5=120 \end{align}\)Die erweiterten Brüche lauten somit \(\frac{80}{120}+\frac{96}{120}-\frac{20}{120}+\frac{45}{120}=\frac{201}{120}\).
Hinweis – natürliche Zahlen
Kommt in der Rechnung eine natürliche Zahl vor, so kannst du diese mit dem Hauptnenner erweitern. Sie spielt bei der Primfaktorzerlegung keine Rolle, da ihr Nenner \(1\) ist.
\(\frac{2}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8}+2=\frac{2}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8}+\frac{2}{1}= \frac{80}{120}+\frac{96}{120}-\frac{20}{120}+\frac{45}{120}+\frac{240}{120}=\frac{441}{120}\)
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Wofür braucht man die Addition und Subtraktion von Brüchen?
Im Alltag können dir nicht nur einzelne Brüche begegnen, sondern auch kleine Überlegungen, in denen dir die Bruchrechnung helfen kann.
Anbei hast du ein Rezept für eine erfrischende Schorle. Wie groß muss deine Karaffe mindestens sein, damit die Schorle hineinpasst? Du kannst davon ausgehen, dass die Ingwerstücke und Minzblätter nicht viel Volumen einnehmen, und rechnest die Liter-Angaben zusammen:
\(\frac{3}{2}+\frac{3}{5}+\frac{1}{6}=\frac{45}{30}+\frac{18}{30}+\frac{5}{30}=\frac{68}{30}=\frac{34}{15}=2\frac{4}{15}\)
Dies entspricht in etwa \(34:15\approx2{,}26\) Litern Schorle. Das Gefäß sollte demnach mindestens um die \(2{,}5\) Liter fassen, damit du die Schorle bequem zubereiten kannst.
