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Lineare Funktionen einfach erklärt

Klassenstufe:

Was sind lineare Funktionen?

In Mathe begegnest du beim Thema „Funktionen“ zuerst den linearen Funktionen. Was aber ist eine lineare Funktion? Hier findest du eine Einführung zu den linearen Funktionen mit allen Begriffen, die du in der Schule kennen musst!

Funktionen ordnen jedem \(x\)-Wert einen \(y\)-Wert zu. Für jedes \(x\) gibt es also immer genau ein \(y\). Den passenden \(y\)-Wert zu einem gegebenen \(x\)-Wert kannst du mithilfe des Funktionsterms ausrechnen. Jetzt sind lineare Funktionen einfach erklärt: Bei diesem Funktionstyp kommt die Variable x im Funktionsterm immer nur in der ersten Potenz vor. Deshalb nennt man sie auch Funktionen ersten Grades.

Eine lineare Funktion sieht also zum Beispiel so aus:

\(f(x) = 2x + 5\)

Allgemein schreibt man die Funktionsgleichung einer linearen Funktion so:

\(f(x) = mx + n\)

Dabei ist \(m\) die Steigung der Funktion und \(n\) der \(\boldsymbol y\)-Achsenabschnitt.

Mit unserer Zusammenfassung kannst du alles zu den linearen Funktionen lernen, was du brauchst! Anschließend kannst du Übungsaufgaben aus unseren Klassenarbeiten zu den linearen Funktionen bearbeiten, um dein Wissen zu testen.

Welche Eigenschaften haben lineare Funktionen?

Zu den Eigenschaften einer linearen Funktion gehören vor allem ihr Graph, die Steigung der Funktion und ihr \(\boldsymbol y\)-Achsenabschnitt.

Welche Form hat der Graph einer linearen Funktion?

Für die Darstellung linearer Funktionen als Graphen in einem Koordinatensystem gilt: Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, also eine nicht gebogene Linie.

Lineare Funktionen mit unterschiedlichem Anstieg

Was ist die Steigung einer linearen Funktion?

Die Zahl \(m\), die in dem Funktionsterm vor dem \(x\) steht, ist die Steigung der Geraden. Ist die Steigung der Geraden positiv, dann steigt die Gerade. Bei einer negativen Steigung liegt eine fallende Gerade vor. Es gilt: Je größer die Steigung, desto steiler verläuft die Gerade. 

Was ist der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion?

Der \(\boldsymbol y\)-Achsenabschnitt \(n\) verrät dir, bei welchem \(y\)-Wert die Gerade der linearen Funktion die \(y\)-Achse schneidet. Diesen Wert kannst du also ganz einfach ablesen, wenn du eine Zeichnung der Gerade im Koordinatensystem vor dir hast.

Was ist eine Wertetabelle?

Eine Wertetabelle zu einer linearen Funktion hat zwei Spalten, in der du eine Reihe von \(x\)-Werten und die dazu passenden \(y\)-Werte eintragen kannst. So siehst du auf einen Blick, welche \(y\)-Werte zu welchen \(x\)-Werten passen.

Wozu braucht man lineare Funktionen?

In der Schule lernst du unter anderem, wie man bei linearen Funktionen Steigung, Nullstelle und Schnittpunkte berechnet. Aber wozu braucht man das überhaupt?

Hast du dich schon einmal gefragt, wie lange es zum Beispiel dauert, einen bestimmten Betrag auf deinem Konto anzusparen, wenn du monatlich die Summe \(x\) einzahlt? Oder wie hoch die Gesamtkosten eines Handwerkers sind, wenn er \(x\) Stunden arbeitet und pro Stunde die Summe \(m\) berechnet und dann noch die Anfahrtskosten \(n\) extra dazu addiert? Für solche Fragestellungen braucht man die linearen Funktionen!

Darüber hinaus bilden sie die Grundlage für das Verständnis anderer Funktionen, wie z. B. der quadratischen Funktionen. Funktionen im Allgemeinen sind wichtig zur Berechnung von Kreditzinsen, Verschlüsselungen und maximalen Gewinneinkünften. Sie beschreiben Proportionalität, Wachstum und Zerfall.