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Ganzrationale Funktionen

10. Klasse ‐ Oberstufe Dauer: 70 Minuten

Was sind ganzrationale Funktionen?

Ganzrationale Funktionen gehören zum mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie werden häufig auch Polynomfunktionen genannt und sind Funktionen, die die folgende allgemeine Form besitzen:

\(y= f(x)=a_n \cdot x^n + a_{n\ -\ 1} \cdot x^{n\ -\ 1}+a_{n\ -\ 2}\cdot x^{n\ -\ 2} +\ldots +a_{2}\cdot x^{2} +a_{1}\cdot x +a_{0}\)

Dabei ist \(n\) aus den natürlichen Zahlen ohne \(0\) und \(a_n, a_{n\ -\ 1}, \ldots ,a_1, a_0 \) aus den reellen Zahlen. Da sie den reellen Zahlenraum \(\mathbb{R}\) wieder auf den reellen Zahlenraum \(\mathbb{R}\) abbilden können, sind die Definitions- und die Wertemenge gleich und es gilt \(D_f = W_f = \mathbb{R}\). Ganzrationale Funktionen lassen sich addieren oder voneinander subtrahieren. Das Ergebnis ist wieder eine ganzrationale Funktion.

In diesem Lernweg erfährst du, was ganzrationale Funktionen sind, wie du sie bestimmen kannst und wie du mit ihnen rechnest. Mit unseren interaktiven Übungen kannst du super lernen und mit unseren Klassenarbeiten deine neu gewonnenen Fähigkeiten testen.

Ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften

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Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen

Wie du untersuchst, ob eine Funktion ganzrational ist

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Untersuchen, ob eine Funktion ganzrational ist

Untersuchen, ob eine Funktion ganzrational ist

Untersuchen, ob eine Funktion ganzrational ist

Wie du Grad und Koeffizienten von ganzrationalen Funktionen bestimmst

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Grad und Koeffizient von ganzrationalen Funktionen bestimmen

Grad und Koeffizient von ganzrationalen Funktionen bestimmen

Grad und Koeffizient von ganzrationalen Funktionen bestimmen

Wie du überprüfst, ob eine ganzrationale Funktion gerade oder ungerade ist

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Überprüfen, ob eine ganzrationale Funktion gerade oder ungerade ist

Überprüfen, ob eine ganzrationale Funktion gerade oder ungerade ist

Überprüfen, ob eine ganzrationale Funktion gerade oder ungerade ist

Schlussrunde: Ganzrationale Funktionen – Grundlagen

Schlussrunde: Ganzrationale Funktionen – Grundlagen

Schlussrunde: Ganzrationale Funktionen – Grundlagen

Was du wissen musst

  • Wie erkennt man ganzrationale Funktionen?

    Um eine ganzrationale Funktion zu erkennen, musst du dir die Funktionsgleichung ansehen. Es dürfen nur (beliebig viele) Terme der Form \(a\cdot x^n\) vorkommen. Dabei ist \(a\) eine reelle Zahl und \(n \in \mathbb{N}_0\), was bedeutet, dass alle Exponenten der Variablen natürliche Zahlen oder \(0\) sein müssen. Den größten Exponenten der Funktionsgleichung bezeichnet man auch als Grad der Funktion.

    Den Funktionsterm von \(f\), also \(a_n \cdot x^n + a_{n\,-\,1} \cdot x^{n\,-\,1}+\ldots +a_{1}\cdot x +a_{0}\), bezeichnet man auch als Polynom. Die Koeffizienten \(a_n, a_{n\,-\,1}, \ldots, a_1, a_0\) definieren die Funktion mit. \(a_n, a_{n\,-\,1}, \ldots, a_1, a_0 \in \mathbb{R}\), das bedeutet, die Koeffizienten stammen aus den reellen Zahlen. Sie beeinflussen die Steigung des Funktionsgraphen und \(a_0\) verschiebt die Funktion entlang der y-Achse.

    Im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen (wie z. B. Sinus- und Kosinusfunktion) ist eine ganzrationale Funktion nicht periodisch, das heißt, ein Abschnitt des Graphen wiederholt sich nicht immer wieder.

  • Welche Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen sind wichtig?

    Definitions- und Wertebereich

    Der Definitionsbereich ganzrationaler Funktionen sind die reellen Zahlen, das heißt, sie verlaufen (entlang der x-Achse) von \(-\infty\) bis \(\infty\). Dabei wiederholen sie sich nicht, sie sind also nicht periodisch, wie zum Beispiel die Sinusfunktion. Der Wertebereich sind alle reellen Zahlen.

    Symmetrien

    Die Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion werden von den vorkommenden Exponenten bestimmt. Insbesondere kann an den Exponenten abgelesen werden, ob keine, Punkt- oder Achsensymmetrie vorliegt.

    • Sind alle Exponenten gerade, wie im abgebildeten Beispiel der Funktion \(f(x)=y=-0{,}5x^4+3x^2\), dann ist der Graph der Funktion symmetrisch zur y-Achse. Also gilt​​:
      \(f(x)=f(-x)\)

      Funktion 4ten Grades mit ausschließelich geraden Exponenten. Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

       

    • Sollten, wie in dem nebenstehenden Beispiel der Funktion \(f(x) = y = 0{,}2x^3 - 2x\), alle Exponenten ungerade sein, ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung. Deshalb gilt:​​​​​
      \(f(-x) = -f(x)\)

      Funktion 3ten Grades mit ausschließelich ungeraden Exponenten. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

       

    • Falls sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, besitzt der Graph der Funktion keine Symmetrie.

    Der Grad einer Funktion

    Der Grad einer ganzrationalen Funktion – also der größte Exponent, dessen Koeffizient ungleich \(0\) ist – verrät ebenfalls viel über die Funktion. Er gibt an, wie viele Nullstellen (also Schnittpunkte mit der x-Achse) die Funktion maximal haben kann.

    Des Weiteren verrät dir der Grad, wie viele Extrempunkte (also Hoch- oder Tiefpunkte) die Funktion höchstens besitzt. Eine ganzrationale Funktion des Grades \(n\) verfügt maximal über \(n-1\) Extrempunkte.

    Mit den Potenzgesetzen kannst du Variablen mit verschiedenen Exponenten vergleichen. Daraus kannst du dir überlegen, dass Variablen mit einem hohen Exponenten schneller wachsen als Variablen mit einem kleinen Exponenten. Deshalb bestimmt der Term mit dem größten Exponenten am stärksten, wie die Funktion für sehr große Zahlen sowie für sehr kleine negative Zahlen aussieht.

    Der Leitkoeffizient

    Den Koeffizienten, der vor der Variablen mit dem höchsten Exponenten steht (die also den Grad bestimmt), nennt man den Leitkoeffizienten. An ihm kann man ablesen, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält:

    • Ist der Leitkoeffizient \(>0\), also positiv, strebt der Funktionswert im Unendlichen gegen \(+ \infty\).
    • Ist der Leitkoeffizient \(<0\), also negativ, strebt der Funktionswert im Unendlichen gegen \(-\infty\).
  • Welche Spezialfälle von ganzrationalen Funktionen gibt es?

    Es gibt mehrere Spezialfälle der ganzrationalen Funktionen, die du teilweise bereits kennst

    • Die Funktion hat den Grad \(1\) und \(a_0 = 0\).
      Funktionsgleichung: \(f(x) = y = a_1 \cdot x^1 = a_1 \cdot x\) mit \((a_1\) aus \(\mathbb{R}\); \(a_1 \neq 0)\)
      Diese Funktion nennt man proportionale Funktion. Du kennst sie aus der proportionalen Zuordnung.
    • Die Funktion hat den Grad \(1\) und \(a_0 \neq 0\).
      Funktionsgleichung: \(f(x) = y = a_1 \cdot x + a_0\) mit \((a_1, a_0\) aus \(\mathbb{R}\); \(a_1 \neq 0)\)
      Diese Funktion kennst du als lineare Funktion.
    • Die Funktion hat den Grad \(2\).
      Funktionsgleichung: \(f(x) = y = a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0\) mit \((a_2, a_1, a_0\) aus \(\mathbb{R}\); \(a_2 \neq 0)\)
      Diese Funktion hast du als Funktion zweiten Grades oder quadratische Funktion kennengelernt.
    • Alle Koeffizienten, bis auf den Koeffizienten vor der Variablen mit dem größten Exponenten (also dem Leitkoeffizienten), sind \(0\).
      Funktionsgleichung: \(f(x) = y=a_n \cdot x^n\) mit \((n\) aus \(\mathbb{N}; a_n\) aus \(\mathbb{R})\).
      Diese Funktion nennt man Potenzfunktion.
    4 Ganzrationale Funktionen, die in ein Koordinatensystem eingezeichnet sind.

    Beispiel

    • einer proportionalen Funktion  \(\left( f(x)=\frac{2}{3}\cdot x \right)\),
    • einer linearen Funktion  \(\left( f(x)=\frac{2}{3}\cdot x -3 \right)\),
    • einer quadratischen Funktion \(\left( f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2 + 7\cdot x +25 \right)\) und
    • einer Potenzfunktion \(\left( f(x) = \frac{1}{5} \cdot x^3 \right)\).
  • Wozu braucht man ganzrationale Funktionen?

    Mithilfe ganzrationaler Funktionen können unter anderem verschiedene Vorgänge aus der Natur, der Technik und der Mathematik dargestellt werden. Sie werden häufig verwendet, da man mit ihnen (nach etwas Übung) gut rechnen kann.

    Beispiele für biologische und technische Ereignisse, die mit ganzrationalen Funktionen beschrieben werden können:

    • die Höhe einer Rakete beim Start
    • die Kurve eines Wasserstrahls, der aus einem Schlauch spritzt
    • die Bahn eines Delfins, der aus dem Wasser springt
    • die Geschwindigkeit eines Autos

    Beispiele aus der Mathematik, wo diese Art der Funktionen verwendet werden kann:

    • das Volumen eines Zylinders in Abhängigkeit von seinem Radius
    • der Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit von der Kantenlänge

    In der Mathematik bilden sie die Grundlage für gebrochenrationale Funktionen, sind Anwendungsbeispiele für Kurvendiskussionen und dienen meist als Einstieg in die Differenzialrechnung.