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Potenzfunktionen einfach erklärt

Was sind Potenzfunktionen?

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable die Basis einer Potenz ist. Der Exponent ist meistens eine Zahl oder kann eine konstante Variable sein, die meist mit \(n\) dargestellt wird.

\(f(x)=x^n\)

Die Variable x ist immer die Basis. Ist die Variable im Exponenten, handelt es sich um eine Exponentialfunktion.

Hier findest du alles, was du zu Potenzfunktionen wissen musst. Wenn du schon sicher im Rechnen mit Potenzfunktionen bist, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten testen.

Welche Spezialformen von Potenzfunktionen gibt es?

Potenzfunktion ist ein sehr weit gefasster Begriff, einige spezielle Potenzfunktionen kennst du sicher schon:

Quadratische Funktionen

Ist der Exponent der Variable eine 2, handelt es sich um eine quadratische Funktion:

\(n = 2 \Rightarrow f(x)=x^2\)

Lineare Funktionen

Vielleicht war es dir noch gar nicht so richtig bewusst, aber auch bei linearen Funktionen hat die Variable den Exponenten 1, der aber meistens nicht geschrieben wird:

\(n = 1 \Rightarrow f(x)=x^1= x\)

Diese Sonderfälle werden in der Schule als gesonderte Themen durchgenommen und als Einführung in Funktionen benutzt. Mit dem Begriff Potenzfunktionen wird nun der Exponent in der Funktion auf Zahlen größer als 2 und kleiner als 1 erweitert.

Welche Eigenschaften haben Potenzfunktionen?

Die Eigenschaften von Potenzfunktionen werden durch den Exponenten des Funktionsterms bestimmt. Wie alle Funktionen haben auch Potenzfunktionen einen Definitionsbereich und einen Wertebereich. Dieser hängt aber immer von der Art der Funktion ab. Dennoch gibt es grundlegende Eigenschaften von Potenzfunktionen, die man bei jeder Potenzfunktion beachten muss.

  • Symmetrie:
    Jede Potenzfunktion ist symmetrisch. Es geht nur darum, festzustellen welche Art der Symmetrie vorliegt.
  • Monotonie:
    Mit der Monotonie überprüft man, ob die Werte einer Funktion immer größer oder immer kleiner werden. Damit lassen sich die Extrem- und Terrassenpunkte einer Funktion feststellen.
  • Krümmung:
    Die Krümmung beschreibt, ob die Funktion gegen den Uhrzeigersinn oder um den Uhrzeigersinn gekrümmt ist. Damit lässt sich bestimmen, ob ein Extrempunkt ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.

Alle diese Eigenschaften solltest du beachten, wenn du den Graphen von Potenzfunktionen zeichnen willst.

Was wird mit Potenzfunktionen berechnet?

Im Alltag – ob beruflich oder privat – sind Potenzfunktionen häufiger „im Einsatz“, als man glaubt. So berechnet man zum Beispiel mit der Potenzfunktion ersten Grades den Kreisumfang und Radius, Masse und Volumen, Zeit und Wegstrecke bei gleicher Geschwindigkeit oder Kraft und Beschleunigung bei gleicher Masse. Mit Potenzfunktionen zweiten Grades berechnet man unter anderem Flächeninhalte, die Bewegungsenergie und Geschwindigkeit oder die elektrische Leistung. In der dritten Potenz ist die Funktion für die Berechnung von Volumen wichtig. In vierter Potenz kommt die Funktion bei physikalischen Berechnungen zum Volumenstrom oder zur Strahlungsleistung vor.

Überall dort, wo du später im Beruf mit Mengen, Flächen, Volumen, geometrischen Formen oder auch Kraft, Energie und Beschleunigung zu tun hast, brauchst du Potenzfunktionen. Das gilt etwa für Architekten, Ingenieure, Fahrzeugkonstrukteure, Physiker aber auch Wirtschaftswissenschaftler, die Proportionalitäten berechnen müssen.