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Mehrstufige Zufallsexperimente einfach erklärt

Was sind mehrstufige Zufallsexperimente?

Als mehrstufiges Zufallsexperiment bezeichnet man ein Experiment, welches die Eigenschaften eines Zufallsexperiments aufweist und dabei aus mehreren Wiederholungen oder Schritten besteht. Diese werden nacheinander durchgeführt. Alle Endergebnisse setzen sich dann aus einer Kombination der Ergebnisse aus jeder Stufe zusammen. Ihre Wahrscheinlichkeiten lassen sich wie bei einstufigen Zufallsexperimenten berechnen oder simulieren. 

Beispiele für mehrstufige Zufallsexperimente sind das Ziehen von mehreren Kugeln aus einer Urne oder auch das mehrmalige Drehen eines Glücksrads.

Neben den mehrstufigen Zufallsexperimenten gibt es außerdem die einstufigen Zufallsexperimente. Diese bestehen, wie der Name schon verrät, aus einer einzigen Stufe beziehungsweise einer einmaligen Durchführung des Experiments.

Hier kannst du komplett in die Lernvideos und interaktiven Übungen zu mehrstufigen Zufallsexperimenten eintauchen. Um den Ernstfall einer Prüfung in der Schule zu testen, kannst du eine der Klassenarbeiten machen.

Welche Eigenschaften können mehrstufige Zufallsexperimente haben?

Zufallsexperimente sind im Allgemeinen beliebig oft wiederholbar, während ihre Ergebnisse nicht vorhersagbar sind. Es spielt dabei keine Rolle, ob sie einstufig oder mehrstufig sind. Auch die Begriffe „Ereignis“ und „Gegenereignis“ sind für beide Arten gültig. Mehrstufige Zufallsexperimente weisen hier jedoch eine Besonderheit auf. Es finden sich hier nämlich unabhängige und bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Unabhängige Ereignisse

Unter unabhängigen Ereignissen versteht man, dass ein Ereignis nicht von dem Ereignis der vorherigen Stufe bestimmt wird. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses wird nicht vom vorherigen Ereignis beeinflusst. Ein Beispiel wäre ein Zufallsexperiment, bei dem dreimal hintereinander gewürfelt wird. 
Voneinander abhängige Ereignisse wären hingegen das Ziehen von Kugeln aus einer Urne, ohne diese nach jeder Stufe zurückzulegen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit möchte man berechnen, wie wahrscheinlich ein Ereignis unter der Bedingung ist, dass zuvor ein anderes Ereignis erzielt wurde. Für die Berechnung dieser Art von Wahrscheinlichkeiten wird eine bestimmte Formel verwendet. 
Diese lautet:

\(P(A|B)\,=\,\frac{P(A\,\cap\,B}{P(B)}\)

Sie gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A unter der Bedingung wieder, dass zuvor Ereignis B eingetreten ist. 
Die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich auch schreiben als:

\(P(A|B)\,=\,P_{B}\,(A)\)

Welche Arten von mehrstufigen Zufallsexperimenten gibt es?

Vierfeldertafeln und Baumdiagramme sind gute Möglichkeiten, um die Ereignisse und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten zu visualisieren. Welche Darstellungsweise sich besser eignet, ist abhängig von der Art des Zufallsexperiments. Dabei wird sowohl die Stufenanzahl als auch die jeweilige Anzahl an möglichen Ereignissen betrachtet. 

Vierfeldertafeln

Hat ein Zufallsexperiment genau zwei Stufen mit jeweils zwei möglichen Ereignissen, so sollte eine Vierfeldertafel zu Darstellung benutzt werden.

Die Ereignisse pro Stufe können sich dabei grundlegend voneinander unterscheiden, beispielsweise Geschlecht auf der ersten Stufe und eine Antwort mit Ja beziehungsweise eine Antwort mit Nein auf der zweiten Stufe. Besonders bedingte Wahrscheinlichkeiten von zweistufigen Zufallsexperimenten sind mithilfe einer Vierfeldertafel leicht zu bestimmen oder auch abzulesen.  

Baumdiagramme 

Liegt ein Zufallsexperiment vor, welches mehr als zwei Stufen aufweist, so sollte ein Baumdiagramm gezeichnet werden. Dieses verdeutlicht dabei außerdem die Pfadregel. Mit ihrer Hilfe wird die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnet, wobei alle Wahrscheinlichkeiten entlang des passenden Pfades multipliziert werden.  

Eine besondere Art von mehrstufigem Zufallsexperiment ist das sogenannte „Bernoulli-Experiment“. Dieses besteht aus mehreren Stufen, aber immer nur zwei möglichen Ereignissen pro Stufe, welche als Erfolg und Misserfolg bezeichnet werden. Auch diese Art von Zufallsexperiment wird am besten mithilfe eines Baumdiagramms dargestellt.  

Wozu braucht man mehrstufige Zufallsexperimente?

Mehrstufige Zufallsexperimente eignen sich, um Wahrscheinlichkeiten von komplexeren Vorgängen zu berechnen. Sie finden sich daher auch immer wieder im Alltag.

Ein typisches Beispiel ist das Lottospielen. Jede Kugel besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden. Das Wissen über mehrstufige Zufallsexperimente kannst du beispielsweise verwenden, um die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn abzuschätzen. 
Auch Glücksspiele, wie Poker oder Würfelspiele, sind mit Wahrscheinlichkeiten behaftet. 

Sogar Spiele, denen man es nicht sofort ansieht, sind quasi mehrstufige Zufallsexperimente. Ein Beispiel ist das bekannte Gesellschaftsspiel „Die Siedler von Catan“. 
Würde es nicht manchmal helfen zu wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass beim nächsten Mal die richtige Zahl für das sehnlichst gewünschte Holz gewürfelt wird?