Brüche multiplizieren und dividieren

Was du wissen musst

• Welche Eigenschaften sind beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen wichtig?

  Beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen sind zwei Eigenschaften besonders wichtig:

  1. Brüche können gekürzt werden.
  2. Brüche haben einen Kehrwert.

  Mit gekürzten Brüchen kannst du einfacher und übersichtlicher rechnen. Das gilt für die einzelnden Brüche in den Rechnungen sowie für die Ergebnisse.

  Den Kehrwert des Divisors (die Zahl, durch die geteilt wird) solltest du bei jeder Division bilden können. Du bildest ihn, indem du einfach den Nenner und den Zähler vertauschst. Dadurch verwandelst du die komplizierte Division mit einen Bruch in eine Multiplikation mit dessen Kehrwert.

• Wie kann man sich die Multiplikation von Brüchen vorstellen?

  Den Anteil berechnen

  Anders als bei der Multiplikation mit natürlichen Zahlen wird das Ergebnis bei einer Multiplikation mit einem Bruch kleiner. Das liegt daran, dass du mithilfe des Bruches einen Anteil einer Sache bestimmst.

  Wenn du zum Beispiel \(\frac{3}{4}\) von deinem Adventskalender schon geöffnet hast, dann bedeutet das, dass du bereits \(24 \cdot \frac{3}{4} = 6 \cdot 3=18\) Türchen von \(24\) geöffnet hast. Das Wörtchen von kannst du in diesem Fall mit mal ersetzen.

  Den Anteil eines Anteils berechnen

  Du möchtest wissen, wie groß \(\frac{3}{4}\) von \(\frac{1}{3}\) ist. Falte dafür ein DIN-A4-Blatt in

  • \(3\) gleich große Flächen, markiere davon eine blau, und 
  • \(4\) gleich große Flächen, markiere davon drei orange.

  Nun kannst du \(\frac{3}{4}\) von der blau markierten Fläche (\(\frac13\)) ablesen: Es sind \(3\) von den insgesamt \(12\) Flächen. Das Ergebnis lautet demnach \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\). Formal rechnest du:
  \( \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1 \, \cdot \, 3}{3 \, \cdot \, 4}=\frac{1}{4}\)

  

   

• Wie kann man sich die Divison von Brüchen vorstellen?

  Bruch durch natürliche Zahl

  Wenn du dir mit einer Person einen halben Apfel gerecht teilst, dann bekommt jeder von euch davon die Hälfte. Der halbe Apfel wird auf \(2\) Personen aufgeteilt:

  \(\frac{1}{2}:2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

  Das heißt, jeder von euch bekommt die Hälfte von der Hälfte des Apfels. Das entspricht \(\frac{1}{4}\) von dem Apfel.

  

  Natürliche Zahl durch Bruch

  Wie oft passt der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) in den Dividenden (die Zahl die geteilt wird)? Zum Beispiel:

  Bei \(30:2\) ist die Frage, wie oft \(2 \) in \(30 \) passt. Antwort: \(15\)-mal.

  Bei \(30:\frac{1}{2}\) ist die Frage, wie oft \(\frac{1}{2}\) in \(30 \) passt.

  Angenommen, du machst \(\frac{1}{2}\) Meter lange Schritte. Wie viele Schritte bist du nach \(30\) Metern gegangen? Die Frage ist also: Wie oft passt deine \(\frac{1}{2}\)-m-Schrittlänge in die \(30\)-m-Strecke? Antwort: \(60\)-mal. Formal rechnest du:

  \(30:\frac{1}{2}=\frac{30}{1} \cdot \frac{2}{1}= \frac{30\text{ } \cdot \text{ }2}{1\text{ } \cdot \text{ }1}=60\)

  Bruch durch Bruch

  Genauso funktioniert es, wenn du wissen willst, wie viele \(\frac{1}{4} \text{-l}\)-Tassen du mit \(1\frac{1}{2} \text{ l}\) Tee füllen kannst. Die Frage ist: Wie oft passt \(\frac{1}{4} \text{ l}\) in \(1\frac{1}{2} \text{ l}\). Du rechnest:

  \(1\frac{1}{2} \text{ l}: \frac{1}{4} \text{ l}=\frac{3 }{\color{orange}2}\cdot \frac{\color{orange}4}{1}=\frac{3 \text{ } \cdot \text{ } 2}{1}=6\)

  Die Literangaben kürzen sich dabei weg. Du kannst demnach sechs \(\frac{1}{4} \text{-l}\)-Tassen mit Tee füllen.

• Wie multipliziert und dividiert man mehrere Brüche?

  Multiplikation und Division von Brüchen

  Ander als bei der Addition und Subtraktion von Brüchen musst du bei der Multiplikation und Division von Brüchen nicht auf den gleichen Nenner bestehen. Du kannst sofort losrechnen und die Gleichung hintereinanderweg lösen.

  Beispiel für die Multiplikation

  Berechne: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{2}{3}\)

  • Kürze: \(\frac{3}{\color{orange}4} \cdot \frac{\color{green}6}{5} \cdot \frac{\color{orange}2}{\color{green}3}= \frac{3}{\color{orange}2} \cdot \frac{\color{green}3}{5} \cdot \frac{\color{orange}1}{\color{green}1}\)
  • Multipliziere: \(\frac{3 \text{ } \cdot \text{ }3 \text{ } \cdot \text{ } 1}{2 \text{ } \cdot \text{ } 5 \text{ } \cdot \text{ } 1}=\frac{9}{10} \)

  Beispiel für die Division

  Berechne: \( \frac{7}{30}:\frac{2}{5} :14\)

  • Bilde die Kehrwerte: \( \frac{7}{30}\cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{14}\)
  • Kürze: \( \frac{\color{orange}7}{\color{green}{30}}\cdot \frac{\color{green}5}{2} \cdot \frac{1}{\color{orange}{14}}= \frac{\color{orange}1}{\color{green}6}\cdot \frac{\color{green}1}{2} \cdot \frac{1}{\color{orange}{2}}\)
  • Multipliziere: \(\frac{1 \text{ } \cdot \text{ }1 \text{ } \cdot \text{ } 1}{6 \text{ } \cdot \text{ } 2 \text{ } \cdot \text{ } 2}=\frac{1}{24} \)

  Anwendung mehrerer Rechenoperationen bei Brüchen

  Für die Brüche gelten die gleichen Rechengesetze und -regeln wie bei den natürlichen Zahlen.

  Ein Beispiel:

  \((2+\frac{4}{3}) \cdot \frac{1}{2}-\frac{3}{2}:\frac{1}{5} \)

  Zuerst löst du die Klammer auf:

  \((2 \cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}) -\frac{3}{2}:\frac{1}{5} \)

  Es gilt Punkt- vor Strichrechnung, das heißt, du musst nun die Division und Multiplikation ausrechnen:

  \(\frac{\color{green}2\text{ }\cdot\text{ }1}{1\text{ }\cdot\text{ }\color{green}2}+\frac{\color{orange}4\text{ }\cdot\text{ }1}{3\text{ }\cdot\text{ }\color{orange}2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{1} = 1+\frac{2}{3}-\frac{3\text{ }\cdot\text{ }5}{2\text{ }\cdot\text{ }1}= \frac{3}{3}+\frac{2}{3}-\frac{15}{2}\)

  Anschließend bringst du die restlichen Bruchteile für die Subtraktion bzw. Addition auf den gleichen Nenner und rechnest sie aus:

  \(\frac{3 \text{ }+\text{ }2}{3}-\frac{15}{2}= \frac{5}{3}-\frac{15}{2}= \frac{15}{6}-\frac{30}{6}=-\frac{15}{6}\)

  Das Ergebnis kannst du in eine gemischte Zahl umwandeln:

  \(-\frac{15}{6}=-2\frac{3}{6}=-2\frac{1}{2}\)

• Wofür braucht man die Multiplikation und Division von Brüchen?

  Wie du in den obigen Übungen und Beispielen sehen kannst, kommt es in alltäglichen und mathematisch konstruierten Situationen dazu, dass du mit Brüchen multiplizieren und dividieren musst.

  Du kannst dadurch deine Vorstellungskraft von Anteilen, dem Verteilen und Aufteilen erweitern sowie die Aussagekraft von Verhältnisgleichungen besser einschätzen. Damit bist du jeder Situationen (beim Backen, Kochen, Einkaufen, Konstruieren und Berechnen) gewappnet, in der dir knifflige Aufgaben mit Brüchen begegnen.