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Was ist beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen zu beachten?

 

Du kannst Brüche fast genauso wie natürliche Zahlen multiplizieren und dividieren. Bei der Multiplikation von Brüchen werden die einzelnen Komponenten multipliziert. Das heißt, du rechnest Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Bei der Division von Brüchen musst du zunächst den Kehrwert des Divisors bilden. Den Kehrwert multiplizierst du dann mit dem ersten Bruch und rechnest wie eben bei der Multiplikation von Brüchen beschrieben.

Multiplikation von Brüchen:

ZählerNennerZählerNenner=Zähler  ZählerNenner  Nenner

Division von Brüchen:

ZählerNenner:ZählerNenner=ZählerNennerNennerZähler=Zähler   NennerNenner  Zähler

Wie das im Detail funktioniert, kannst du dir in den Videos erklären lassen. Probiere es dann selbst in den Übungen und in den Klassenarbeiten aus.

Wie du Brüche multiplizierst

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iStock.com/Alefclipart

Brüche multiplizieren

Brüche multiplizieren (einfach)
Aufgabe:
Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.
 
Um Brüche miteinander multiplizieren zu können, muss vorher gekürzt werden.
Brüche multiplizieren (mittel)

Aufgabe:
Multipliziere die Brüche miteinander und gib an, ob richtig oder falsch gerechnet wurde.  Zieh dazu die Rechnungen in das passende Feld.

Greifbares Element 1 von 4.

1234=38

Greifbares Element 2 von 4.

7889=79

Greifbares Element 3 von 4.

354513=325

Greifbares Element 4 von 4.

692578=730

Ablagezone 1 von 2.

richtig

Ablagezone 2 von 2.

falsch

Brüche multiplizieren (schwer)
Aufgabe:
Entscheide, ob und wenn ja, wo der Fehler bei der folgenden Rechnung liegt.
Kreuze im Anschluss die richtige Auswahl an.
 
0212914=3292=3191=271=27

Wie du Brüche dividierst

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iStock.com/Kobkoo, iStock.com/vladwel, iStock.com/31moonlight31

Brüche dividieren

Brüche dividieren (einfach)
Aufgabe:
Markiere die Aussagen, die auf die Division zweier Brüche zutreffen.
Brüche dividieren (mittel)
Aufgabe:
Wähle „wahr“, wenn Patrick richtig gerechnet hat, aber „falsch“, wenn er falsch gerechnet hat.
 
Patrick berechnet:
1215:32

Er hat in der Schule gelernt, dass er als Erstes den Kehrwert des Bruchs bilden muss, durch den geteilt wird, und dann gekürzt werden darf.
1215:32=1215:23=415:21
 
Nun berechnet er das Ergebnis:
415:21=4 : 215 : 1=215
Brüche dividieren (schwer)
Aufgabe:
Entscheide, ob die folgende Rechnung richtig (wahr) oder falsch gerechnet wurde.
 
29:35=23:15=2351=103

Brüche multiplizieren und dividieren

Brüche multiplizieren und dividieren (einfach)
Aufgabe:
Markiere die Aussagen, die auf die Multiplikation mit zwei Brüchen zutreffen.
Brüche multiplizieren und dividieren (mittel)
Aufgabe:
Überprüfe die Rechnung und schreibe jeweils in das freie Feld hinter die Gleichung, ob richtig (r) oder falsch (f) gerechnet wurde. 
114:221=32 
 
1018:2524=815 
 
1118:1527=165486 
Brüche multiplizieren und dividieren (schwer)
Aufgabe:
Ein Fahrzeug legt 352km in 234 Stunden zurück. Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit pro Stunde und trage den Wert in das freie Feld ein. (Hinweis: Es soll berechnet werden, wie viel Kilometer das Fahrzeug in einer Stunde fährt.)
Die Durchschnittsgeschwindigkeit pro Stunde beträgt:  kmh

Was du wissen musst

  • Welche Eigenschaften sind beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen wichtig?

    Beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen sind zwei Eigenschaften besonders wichtig:

    1. Brüche können gekürzt werden.
    2. Brüche haben einen Kehrwert.

    Mit gekürzten Brüchen kannst du einfacher und übersichtlicher rechnen. Das gilt für die einzelnden Brüche in den Rechnungen sowie für die Ergebnisse.

    Den Kehrwert des Divisors (die Zahl, durch die geteilt wird) solltest du bei jeder Division bilden können. Du bildest ihn, indem du einfach den Nenner und den Zähler vertauschst. Dadurch verwandelst du die komplizierte Division mit einen Bruch in eine Multiplikation mit dessen Kehrwert.

  • Wie kann man sich die Multiplikation von Brüchen vorstellen?

    Den Anteil berechnen

    Anders als bei der Multiplikation mit natürlichen Zahlen wird das Ergebnis bei einer Multiplikation mit einem Bruch kleiner. Das liegt daran, dass du mithilfe des Bruches einen Anteil einer Sache bestimmst.

    Wenn du zum Beispiel 34 von deinem Adventskalender schon geöffnet hast, dann bedeutet das, dass du bereits 2434=63=18 Türchen von 24 geöffnet hast. Das Wörtchen von kannst du in diesem Fall mit mal ersetzen.

    Den Anteil eines Anteils berechnen

    Du möchtest wissen, wie groß 34 von 13 ist. Falte dafür ein DIN-A4-Blatt in

    • 3 gleich große Flächen, markiere davon eine blau, und 
    • 4 gleich große Flächen, markiere davon drei orange.

    Nun kannst du 34 von der blau markierten Fläche (13) ablesen: Es sind 3 von den insgesamt 12 Flächen. Das Ergebnis lautet demnach 312=14. Formal rechnest du:
    1334=1334=14

    Drei Viertel von einem Drittel markiert in einem Rechteck

     

  • Wie kann man sich die Divison von Brüchen vorstellen?

    Bruch durch natürliche Zahl

    Wenn du dir mit einer Person einen halben Apfel gerecht teilst, dann bekommt jeder von euch davon die Hälfte. Der halbe Apfel wird auf 2 Personen aufgeteilt:

    12:2=1212=14

    Das heißt, jeder von euch bekommt die Hälfte von der Hälfte des Apfels. Das entspricht 14 von dem Apfel.

    Ein halber Apfel wird auf zwei Personen aufgeteilt.

    Natürliche Zahl durch Bruch

    Wie oft passt der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) in den Dividenden (die Zahl die geteilt wird)? Zum Beispiel:

    Bei 30:2 ist die Frage, wie oft 2 in 30 passt. Antwort: 15-mal.

    Bei 30:12 ist die Frage, wie oft 12 in 30 passt.

    Angenommen, du machst 12 Meter lange Schritte. Wie viele Schritte bist du nach 30 Metern gegangen? Die Frage ist also: Wie oft passt deine 12-m-Schrittlänge in die 30-m-Strecke? Antwort: 60-mal. Formal rechnest du:

    30:12=30121=30  21  1=60

    Bruch durch Bruch

    Genauso funktioniert es, wenn du wissen willst, wie viele 14-l-Tassen du mit 112 l Tee füllen kannst. Die Frage ist: Wie oft passt 14 l in 112 l. Du rechnest:

    112 l:14 l=3241=3  21=6

    Die Literangaben kürzen sich dabei weg. Du kannst demnach sechs 14-l-Tassen mit Tee füllen.

  • Wie multipliziert und dividiert man mehrere Brüche?

    Multiplikation und Division von Brüchen

    Ander als bei der Addition und Subtraktion von Brüchen musst du bei der Multiplikation und Division von Brüchen nicht auf den gleichen Nenner bestehen. Du kannst sofort losrechnen und die Gleichung hintereinanderweg lösen.

    Beispiel für die Multiplikation

    Berechne: 346523

    • Kürze: 346523=323511
    • Multipliziere: 3  3  12  5  1=910
    Beispiel für die Division

    Berechne: 730:25:14

    • Bilde die Kehrwerte: 73052114
    • Kürze: 73052114=161212
    • Multipliziere: 1  1  16  2  2=124

    Anwendung mehrerer Rechenoperationen bei Brüchen

    Für die Brüche gelten die gleichen Rechengesetze und -regeln wie bei den natürlichen Zahlen.

    Ein Beispiel:

    (2+43)1232:15

    Zuerst löst du die Klammer auf:

    (212+4312)32:15

    Es gilt Punkt- vor Strichrechnung, das heißt, du musst nun die Division und Multiplikation ausrechnen:

    2  11  2+4  13  23251=1+233  52  1=33+23152

    Anschließend bringst du die restlichen Bruchteile für die Subtraktion bzw. Addition auf den gleichen Nenner und rechnest sie aus:

    3 + 23152=53152=156306=156

    Das Ergebnis kannst du in eine gemischte Zahl umwandeln:

    156=236=212

  • Wofür braucht man die Multiplikation und Division von Brüchen?

    Wie du in den obigen Übungen und Beispielen sehen kannst, kommt es in alltäglichen und mathematisch konstruierten Situationen dazu, dass du mit Brüchen multiplizieren und dividieren musst.

    Du kannst dadurch deine Vorstellungskraft von Anteilen, dem Verteilen und Aufteilen erweitern sowie die Aussagekraft von Verhältnisgleichungen besser einschätzen. Damit bist du jeder Situationen (beim Backen, Kochen, Einkaufen, Konstruieren und Berechnen) gewappnet, in der dir knifflige Aufgaben mit Brüchen begegnen.