Was du wissen musst
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Welche Eigenschaften sind beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen wichtig?
Beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen sind zwei Eigenschaften besonders wichtig:
- Brüche können gekürzt werden.
- Brüche haben einen Kehrwert.
Mit gekürzten Brüchen kannst du einfacher und übersichtlicher rechnen. Das gilt für die einzelnden Brüche in den Rechnungen sowie für die Ergebnisse.
Den Kehrwert des Divisors (die Zahl, durch die geteilt wird) solltest du bei jeder Division bilden können. Du bildest ihn, indem du einfach den Nenner und den Zähler vertauschst. Dadurch verwandelst du die komplizierte Division mit einen Bruch in eine Multiplikation mit dessen Kehrwert.
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Wie kann man sich die Multiplikation von Brüchen vorstellen?
Den Anteil berechnen
Anders als bei der Multiplikation mit natürlichen Zahlen wird das Ergebnis bei einer Multiplikation mit einem Bruch kleiner. Das liegt daran, dass du mithilfe des Bruches einen Anteil einer Sache bestimmst.
Wenn du zum Beispiel 34 von deinem Adventskalender schon geöffnet hast, dann bedeutet das, dass du bereits 24⋅34=6⋅3=18 Türchen von 24 geöffnet hast. Das Wörtchen von kannst du in diesem Fall mit mal ersetzen.
Den Anteil eines Anteils berechnen
Du möchtest wissen, wie groß 34 von 13 ist. Falte dafür ein DIN-A4-Blatt in
- 3 gleich große Flächen, markiere davon eine blau, und
- 4 gleich große Flächen, markiere davon drei orange.
Nun kannst du 34 von der blau markierten Fläche (13) ablesen: Es sind 3 von den insgesamt 12 Flächen. Das Ergebnis lautet demnach 312=14. Formal rechnest du:
13⋅34=1⋅33⋅4=14 -
Wie kann man sich die Divison von Brüchen vorstellen?
Bruch durch natürliche Zahl
Wenn du dir mit einer Person einen halben Apfel gerecht teilst, dann bekommt jeder von euch davon die Hälfte. Der halbe Apfel wird auf 2 Personen aufgeteilt:
12:2=12⋅12=14
Das heißt, jeder von euch bekommt die Hälfte von der Hälfte des Apfels. Das entspricht 14 von dem Apfel.
Natürliche Zahl durch Bruch
Wie oft passt der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) in den Dividenden (die Zahl die geteilt wird)? Zum Beispiel:
Bei 30:2 ist die Frage, wie oft 2 in 30 passt. Antwort: 15-mal.
Bei 30:12 ist die Frage, wie oft 12 in 30 passt.
Angenommen, du machst 12 Meter lange Schritte. Wie viele Schritte bist du nach 30 Metern gegangen? Die Frage ist also: Wie oft passt deine 12-m-Schrittlänge in die 30-m-Strecke? Antwort: 60-mal. Formal rechnest du:
30:12=301⋅21=30 ⋅ 21 ⋅ 1=60
Bruch durch Bruch
Genauso funktioniert es, wenn du wissen willst, wie viele 14-l-Tassen du mit 112 l Tee füllen kannst. Die Frage ist: Wie oft passt 14 l in 112 l. Du rechnest:
112 l:14 l=32⋅41=3 ⋅ 21=6
Die Literangaben kürzen sich dabei weg. Du kannst demnach sechs 14-l-Tassen mit Tee füllen.
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Wie multipliziert und dividiert man mehrere Brüche?
Multiplikation und Division von Brüchen
Ander als bei der Addition und Subtraktion von Brüchen musst du bei der Multiplikation und Division von Brüchen nicht auf den gleichen Nenner bestehen. Du kannst sofort losrechnen und die Gleichung hintereinanderweg lösen.
Beispiel für die Multiplikation
Berechne: 34⋅65⋅23
- Kürze: 34⋅65⋅23=32⋅35⋅11
- Multipliziere: 3 ⋅ 3 ⋅ 12 ⋅ 5 ⋅ 1=910
Beispiel für die Division
Berechne: 730:25:14
- Bilde die Kehrwerte: 730⋅52⋅114
- Kürze: 730⋅52⋅114=16⋅12⋅12
- Multipliziere: 1 ⋅ 1 ⋅ 16 ⋅ 2 ⋅ 2=124
Anwendung mehrerer Rechenoperationen bei Brüchen
Für die Brüche gelten die gleichen Rechengesetze und -regeln wie bei den natürlichen Zahlen.
Ein Beispiel:
(2+43)⋅12−32:15
Zuerst löst du die Klammer auf:
(2⋅12+43⋅12)−32:15
Es gilt Punkt- vor Strichrechnung, das heißt, du musst nun die Division und Multiplikation ausrechnen:
2 ⋅ 11 ⋅ 2+4 ⋅ 13 ⋅ 2−32⋅51=1+23−3 ⋅ 52 ⋅ 1=33+23−152
Anschließend bringst du die restlichen Bruchteile für die Subtraktion bzw. Addition auf den gleichen Nenner und rechnest sie aus:
3 + 23−152=53−152=156−306=−156
Das Ergebnis kannst du in eine gemischte Zahl umwandeln:
−156=−236=−212
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Wofür braucht man die Multiplikation und Division von Brüchen?
Wie du in den obigen Übungen und Beispielen sehen kannst, kommt es in alltäglichen und mathematisch konstruierten Situationen dazu, dass du mit Brüchen multiplizieren und dividieren musst.
Du kannst dadurch deine Vorstellungskraft von Anteilen, dem Verteilen und Aufteilen erweitern sowie die Aussagekraft von Verhältnisgleichungen besser einschätzen. Damit bist du jeder Situationen (beim Backen, Kochen, Einkaufen, Konstruieren und Berechnen) gewappnet, in der dir knifflige Aufgaben mit Brüchen begegnen.