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Was sind algebraische Gleichungen

In einer algebraischen Gleichung dürfen nur algebraische Rechenoperationen benutzt werden. Das heißt, wenn du die Variablen in deiner Gleichung nur potenzierst, radizierst, addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst, dann handelt es sich um eine algebraische Gleichung. Das bedeutet, zu den algebraischen Gleichungen gehören Wurzelgleichungen, quadratische Gleichungen, Gleichungen mit Bruch und lineare Gleichungen. Diese könnten zum Beispiel so aussehen: 

  • \(3x-5x^2+17x^4-22=2x\)
  • \((8x+4)^3=\frac{4x}{16}\)
  • \(5x=\sqrt{2x^2-6+4x} \)

Wenn du dich mit diesem Thema näher beschäftigen möchtest, dann schau dir doch die Lernwege dazu an. Du kannst sie unter diesem Absatz finden. 

Algebraische Gleichungen – die beliebtesten Themen

Wie ist eine algebraische Gleichung aufgebaut?

Jede algebraische Gleichung kannst du durch Umformung in ihre allgemeine Form bringen: 

\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}\ +\,...\,+\ a_2x^2+a_1x+a_0=0\)

Der Term auf der linken Seite wird als Polynom bezeichnet. Der Summand \(a_1x\) heißt lineares Glied und den Summanden \(a_0\) nennt man absolutes Glied. Wenn \(a_n\) nicht gleich \(0\) ist, dann handelt es sich um eine algebraische Gleichung \(n\)-ten Grades. Du kannst den Grad der Gleichung bestimmen, indem du schaust, wie der größte Exponent lautet. Eine Gleichung \(n\)-ten Grades hat immer maximal \(n\) Lösungen. Wenn du die allgemeine Form durch \(a_n\) dividierst, dann erhältst du die sogenannte Normalform der Gleichung (vorausgesetzt \(a_n \neq0\)).    

Wozu brauche ich algebraische Gleichungen?

Auch wenn du den Begriff der algebraischen Gleichung in der Schule gar nicht oder nur sehr selten hörst, sind viele der Gleichungen, die du kennst, algebraisch. Dieser Begriff ist hauptsächlich innermathematisch hilfreich, um viele unterschiedliche Gleichungen mit vergleichbaren Eigenschaften zusammenzufassen.

Das Lösen von algebraischen Gleichungen findet dementsprechend viele verschiedene Anwendungsbereiche. Das Ziel ist immer, eine Gleichung mit Unbekannten zu lösen. Das heißt, dein Ziel ist es, der Unbekannten einen Wert zuzuweisen. Um manche Probleme zu lösen, musst du zuerst eine algebraische Gleichung aufstellen, bevor du sie lösen kannst.

Du brauchst algebraische Gleichungen zum Beispiel, wenn du die Nullstellen einer Funktion bestimmen möchtest oder auch bei alltäglichen Dingen, beispielsweise wenn du wissen möchtest, wie viele Äpfel du dir leisten kannst, aber nur den Preis eines Apfels und dein Budget kennst. Du merkst, die algebraischen Gleichungen brauchst du für unglaublich viele Dinge in der Mathematik, aber auch im Alltag, ohne dass du merkst, dass du sie gerade verwendet hast. Außerdem werden algebraische Funktionen unglaublich häufig in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften verwendet.

Was gibt es außer algebraischen Gleichungen?

Neben algebraischen Gleichungen gibt es auch Exponentialgleichungen, trigonometrische Gleichungen und Logarithmusgleichungen. Diese werden unter der Bezeichnung der transzendenten Gleichungen zusammengefasst. Sie beinhalten nur transzendente Funktionen. Transzendent bedeutet so viel wie „übersteigend“. Sie übersteigen nämlich die Grenze der algebraischen Funktionen. So ist ein Unterschied zu den algebraischen Gleichungen, dass die Nullstellenbestimmung durch Polynomdivision hier nicht möglich ist. Andere Strategien müssen hier genutzt werden.