Was sind quadratische Funktionen?

Du fragst dich, was eine quadratische Funktion ist? Wir geben dir eine Definition für quadratische Funktionen und alle Erklärungen, die du brauchst, um den Durchblick zu behalten!

In der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion kommt die Funktionsvariable \(\boldsymbol x\) immer im Quadrat vor, also mit der Hochzahl 2. Deshalb nennt man sie auch Funktionen zweiten Grades. Allgemein sieht die Funktionsvorschrift so aus:

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Dabei sind \(a \neq 0\), \(b\) und \(c\) reelle Zahlen. Die Variable \(x\) kann also nicht nur als Quadrat, sondern auch in linearer Form mit der Hochzahl 1 vorkommen. Größere Exponenten für \(x\) sind in einer quadratischen Funktion aber nicht erlaubt.

Die wichtigsten Inhalte zu den quadratischen Funktionen findest du hier. Unsere Klassenarbeiten mit Musterlösungen zu den quadratischen Funktionen helfen dir dabei, dich auf die nächste Mathearbeit vorzubereiten.

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Quadratische Funktionen – die Grundlagen zusammengefasst

Welcher Graph gehört zu einer quadratischen Funktion?

Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel. Die spezielle Funktionsgleichung \(f(x) = x^2\) gehört zur sogenannten Normalparabel, der einfachsten Version einer Parabel. Aus dieser Normalparabel erhält man alle anderen Formen von Parabeln, indem man sie staucht oder streckt und sie in \(x\)- oder \(y\)-Richtung verschiebt.

Die Normalparabel mit Scheitelpunkt im Ursprung.

 

Parabeln haben immer einen höchsten oder einen tiefsten Punkt und sind achsensymmetrisch. Dabei verläuft die Symmetrieachse immer parallel zur \(y\)-Achse.

Für die Orientierung der Parabel gilt:

  • Ist \(a>0\), dann ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie besitzt dann einen Tiefpunkt.
  • Für \(a<0\) ist die Parabel nach unten geöffnet. Es gibt dann statt einem Tiefpunkt einen Hochpunkt.
Eine nach oben geöffnete Parabel mit a > 0 und eine nach unten geöffnete Parabel mit a< 0

Auch die Form der Parabel wird durch den Vorfaktor \(a\) bestimmt:

  • Für \(|a|<1\) ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestaucht. Das heißt, dass sie langsamer ansteigt, der Graph wird also breiter und flacher.
  • Eine Parabel mit \(|a|>1\) steigt dagegen schneller als die Normalparabel. Solch eine Parabel ist gestreckt, ihr Graph ist spitzer und schmaler.
Eine gestauchte Parabel mit a < 0 und eine gestreckte Parabel mit a > 0

Welche Formen gibt es für die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion?

Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen lassen sich in zwei Formen darstellen:

  • Normalform: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
  • Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x-d)^2 + e\), dabei ist der Punkt \(S(d|e)\) der Scheitelpunkt der Parabel

Diese beiden Darstellungsformen lassen sich durch Ausmultiplizieren oder mithilfe quadratischer Ergänzung ineinander überführen.

Welche Eigenschaften haben quadratische Funktionen?

Wenn es um die Eigenschaften einer quadratischen Funktion geht, dann geht es neben der Form der Parabel vor allem um ihre Nullstellen, den y-Achsenabschnitt und den Scheitelpunkt.

Nullstellen

Mit den Nullstellen bezeichnet man die \(x\)-Werte, bei denen die Parabel einer quadratischen Funktion die \(\boldsymbol x\)-Achse schneidet. Eine quadratische Funktion kann eine, zwei oder gar keine Nullstellen haben.

y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, bei dem der Graph der quadratischen Funktion die \(\boldsymbol y\)-Achse schneidet. Aus der Funktionsgleichung in Normalform kannst du ihn direkt als \(P(0|c)\) ablesen.

Scheitelpunkt

Der höchste oder der tiefste Punkt einer Parabel wird Scheitelpunkt genannt. Den Scheitelpunkt kannst du direkt als \(S(d|e)\) der Scheitelpunktform entnehmen.

Eine Parabel mit zwei Nullstellen, dem Scheitelpunkt und dem y-Achsenabschnitt

 

Wo kommen quadratische Funktionen im Alltag vor?

Quadratische Funktionen treten im Alltag häufig auf – beispielsweise in Form von Bögen an Brücken oder Gebäuden, beim Werfen eines Balls und beim Parabelflug eines Flugzeuges. Auch ein Wasserstrahl aus einem schräg nach oben gerichteten Schlauch folgt einer Parabel. Eine weitere Anwendung ist die Berechnung von Bremswegen von Fahrzeugen mithilfe quadratischer Funktionen.