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Rationale Funktionen einfach erklärt

Was ist eine rationale Funktion?

Du suchst eine Erklärung und Definition rationaler Funktionen? Du fragst dich, was eine rationale Funktion ist? Dann bist du bei uns genau richtig!

Rationale Funktionen sind der Oberbegriff für ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen, also für Funktionen, deren Funktionsterm entweder ein Polynom \(f(x)\) oder ein Bruch aus zwei Polynomen \(\frac{f(x)}{g(x)}\) ist.

Dieser Oberbegriff ist sehr weit gefasst und beinhaltet alles von einfachen Zuordnungen und dem Dreisatz über quadratische Funktionen bis zu gebrochenrationalen Funktionen. Je nachdem, wie weit du in Mathe bist, handelt es sich also um sehr unterschiedliche Funktionen. 

Hier findest du die wichtigsten Themen rund um die rationalen Funktionen! Zum Abschluss kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten zu rationalen Funktionen testen. Dann bist du bestens vorbereitet auf die nächste Klassenarbeit!

Welche Arten von rationalen Funktionen gibt es?

Es gibt unterschiedliche Arten von rationalen Funktionen, mit denen man sehr einfach rechnen kann, die aber auch etwas umständlich sein können. 

Was sind Potenzfunktionen?

Bei einer Potenzfunktion steht die Funktionsvariable \(\boldsymbol x\) immer in der Basis einer Potenz. Allgemein hat eine Potenzfunktion also diese Form:

\(f(x) = ax^b\)

Dabei sind \(a \) und \(b\) konstante, reelle Zahlen. Zu den Potenzfunktionen gehören zum Beispiel die Parabel-, Wurzel- und Hyperbelfunktionen.

Was sind Polynomfunktionen?

Der Funktionsterm einer Polynomfunktion ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen:

\(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +a_3x^3 + \,\dots \, + a_nx^n\)

Der größte Exponent der Variablen \(x\) bestimmt den Grad der Funktion. Bei einer Polynomfunktion 1. Grades handelt es sich um eine lineare Funktion. Eine quadratische Funktion ist dagegen eine Polynomfunktion 2. Grades.

Allgemein bezeichnet man Polynomfunktionen auch als ganzrationale Funktionen.

Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

Alle Funktionen der Form \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\), bei denen der Grad \(\text{m}\) der Nennerfunktion \(h(x)\) größer oder gleich eins ist, nennt man gebrochenrationale Funktionen. Man unterscheidet weiter zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.

Ist der Grad \(\text{m}\) der Nennerfunktion größer als der Grad \(\text{n}\) der Zählerfunktion, so heißt die rationale Funktion echt gebrochen. Sie lässt sich dann nicht als ganzrationale Funktion darstellen. Hier ein Beispiel:

\(f(x) = \frac{2x^3\;+\; 10x^2 }{6x^4}\)

Wenn aber der Grad \(\text{m}\) der Nennerfunktion kleiner als der Grad \(\text{n}\) der Zählerfunktion ist, so nennt man die Funktion unecht gebrochen. Das ist zum Beispiel bei dieser Funktion der Fall:

\(f(x) = \frac{2x^3 \;+\; 10x^2 }{2x^2}\)

Diese Funktion lässt sich mithilfe der Polynomdivision bzw. durch Kürzen als ganzrationale Funktion darstellen:

\(f(x) = x + 5\)

Was ist die Normalform einer rationalen Funktion?

Bei einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) kann es vorkommen, dass die Zählerfunktion \(g(x)\) und die Nennerfunktion \(h(x)\) gemeinsame Nullstellen \(x_1, \,x_2,\, \dots,\, x_n\) besitzen. Man sagt dann, dass die beiden Polynome nicht teilerfremd sind. Für diesen Fall ist es möglich, teilerfremde Funktionen \(\bar g(x)\) und \(\bar h(x)\) zu finden, sodass man die Funktion \(f(x)\) auch so schreiben kann:

\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{ (x\,-\,x_1)\,\cdot\, \dots\,\cdot\,(x\,-\,x_n)\, \cdot\,\bar g(x)}{ (x\,-\,x_1)\,\cdot\, \dots\,\cdot\,(x\,-\,x_n)\, \cdot\,\bar h(x)}\)

Jetzt noch die Klammern kürzen und schon hat man die Funktion \(f(x)\) als Quotienten zweier teilerfremder Polynome ausgedrückt:

\(f(x) = \frac{\bar g(x)}{\bar h(x)} \qquad \,\bar h(x) \text{ und } \bar g(x) \text{ teilerfremd}\)

Diese Schreibweise nennt man die Normalform einer gebrochenrationalen Funktion. Jede gebrochenrationale Funktion lässt sich also in dieser Schreibweise formulieren. 

Wofür braucht man rationale Funktionen?

In der Schule wirst du bis zum Schulabschluss mit rationalen Funktionen rechnen – sowohl in Mathe als auch in Physik und Chemie. Im Alltag begegnen sie dir ebenfalls, zum Beispiel bei deiner Führerscheinprüfung zur Berechnung des Bremsweges, bei der Berechnung von Geschwindigkeiten und bei Kapitalberechnungen von Aktien.