In der Geometrie ist das Dreieck eines der grundlegenden geometrischen Figuren, die mit geraden Linien gezogen werden kann. In Mathe lernst du unter anderem, Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt von Dreiecken zu berechnen.

Das wichtigste zum Thema Dreiecke findest du hier. 

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Was ist ein Dreieck?

Ein Dreieck ist eine Figur, die aus 3 Punkten besteht, die durch Strecken miteinander verbunden sind. Diese Drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer einzigen Geraden liegen. Dreiecke gehören damit zu den Vielecken (Polyedern).

Die Punkte werden als Ecken \(A\), \(B\) und \(C\) und die Verbindungslinien als Seiten \(a\), \(b\) und \(c\) bezeichnet. Die Innenwinkel werden mit \(\alpha\) (Alpha), \(\beta\) (Beta) und \(\gamma\) (Gamma) benannt. In einem Dreieck, ganz gleich welcher Art, muss die Summe aller Winkel immer \(180°\) betragen (Innenwinkelsatz). Außerdem gilt bei der Berechnung von Dreiecken:

  • Gegenüber der Punkte liegt die gleichnamige Seite: Der  Punkt \(A\) liegt also gegenüber von der Seite \(a\).
  • Die Innenwinkel liegen an den jeweiligen Punkten: Der Winkel \(\alpha\) also beim Punkt \(A\).
  • Die Seiten lassen sich wiederum auch durch die Strecken zwischen den jeweiligen Punkten darstellen: Die Seite \(a\) ist demnach die Strecke zwischen den Punkten \(CB\), die Seite \(c\) die Strecke zwischen \(AB\).

Was für unterschiedliche Dreiecke gibt es?

Man unterscheidet verschiedene Arten von Dreiecken – entsprechend Besonderheiten der Seitenlängen oder Innenwinkel.

Seitenlängen:

  • Gleichschenkliges Dreieck: Zwei Seiten sind gleich lang und auch zwei Winkel gleich groß.
  • Gleichseitiges Dreieck: Alle Seiten sind gleich lang und auch alle Winkel gleich groß, nämlich \(60\) Grad.

Innenwinkel:

  • Rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel beträgt \(90°\) (rechter Winkel).
  • Spitzwinkliges Dreieck: Alle Winkel sind kleiner als \(90°\). Damit ist ein gleichseitiges Dreieck immer auch ein spitzwinkliges.
  • Stumpfwinkliges Dreieck: Ein Winkel des Dreiecks ist größer als \(90°\).

Was sind spezielle Merkmale von Dreiecken?

Man kann verschiedene Merkmale von Dreiecken berechnen. Dazu gehören in erster Linie die Seiten, die Innenwinkel, aber auch die Höhe und die Flächeninhalte. Hierzu gibt es verschiedene Formeln und Merksätze, die man kennen sollte.

  • Die Längen bei einem rechtwinkligen Dreieck berechnet man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras: \(a^2\,+\,b^2\,=\,c^2\)
  • Der Innenwinkelsatz besagt: \(\alpha\,+\,\beta\,+\,\gamma\,=\,180°\)
  • Man kann bei einem Dreieck die Höhen  berechnen. Höhen sind die Geraden, die von einem Punkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite verlaufen. Da ein Dreieck drei Ecken hat, hat es auch drei Höhen. Der gemeinsame Punkt aller Höhen heißt Höhenschnittpunkt.
  • Winkelhalbierende nennt man Geraden, die mittig durch einen Punkt verlaufen und dessen Winkel halbieren:
  • Die Seitenhalbierenden teilen die Seiten in zwei gleich große Hälften. Die müssen nicht im \(90°\) Winkel auf den Seiten stehen. Der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
  • Die Mittelsenkrechten stehen im \(90°\) Winkel auf den Seiten und müssen nicht den gegenüberliegenden Punkt durchlaufen. Der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten bildet den Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks. Dieser Mittelpunkt hat zu allen Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand.

Was sind die Kongruenzsätze?

Um Dreiecke berechnen und konstruieren zu können, wirst du dich ab Klasse 7 auch mit den sogenannten Kongruenzsätzen befassen. Sie erklären, wann zwei oder mehrere Dreiecke „deckungsgleich“ (kongruent) sind. Insgesamt gibt es vier Kongruenzsätze.

  • Kongruenzsatz SSS: Wenn alle drei Seiten übereinstimmen, sind Dreiecke kongruent.
  • Kongruenzsatz SWS: Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel gleich sind, sind Dreiecke deckungsgleich.
  • Kongruenzsatz WSW: Wenn eine Seite und die beiden angrenzenden Winkel gleich sind, sind Dreiecke kongruent.
  • Kongruenzsatz SSW: Wenn zwei Seiten gleich sind und außerdem der Winkel gegenüber der größeren Seite gleich ist, sind Dreiecke deckungsgleich.

Wann muss man Dreiecke im Alltag berechnen?

Dreiecke berechnen zu können, hilft dir nicht nur in der Schule. Das Wissen um geometrische Figuren wie Dreiecke, deren Flächen, Höhen und Seiten hilft dir auch beim Heimwerken und in der Gartenplanung. Spätestens, wenn du einen Beruf wie Tischler, Möbeldesigner, Ingenieur, Architekt, Medizintechniker, Produktdesigner, technischer Zeichner, Grafikdesigner oder Maurer erlernen möchtest, solltest du Figuren wie Dreiecke berechnen können.