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Lineare Gleichungen einfach erklärt

Klassenstufe:

Was sind lineare Gleichungen?

Lineare Gleichungen sind Gleichungen, bei denen alle Variablen in der ersten Potenz vorkommen. In der Schule werden häufig Gleichungen mit nur einer Variablen betrachtet. In der Oberstufe sind auch lineare Gleichungen mit mehreren Variablen von Interesse. Mehrere dieser Gleichungen werden dann zu Gleichungssystemen zusammengefasst.

Unter diesem Abschnitt findest du wichtige Lernwege und Klassenarbeiten zu einfachen linearen Gleichungen. Schau sie dir an, um einen Überblick über Themen zu gewinnen, die in der Schule wichtig sind.

Wie viele Variablen hat eine lineare Gleichung?

Lineare Gleichungen haben mindestens eine Variable. Wichtig ist, dass jede Variable in der ersten Potenz vorkommt.

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Das sind die in der Schule gängigsten Gleichungen. Sie haben die Form \(ax +b =0\). Diese Gleichungen lassen sich durch Äquivalenzumformungen lösen und haben eine fest definierte Lösungsmenge.

Die damit verwandten linearen Funktionen haben eine ähnliche Form, nur lassen sich unendlich viele Werte für die Variablen einsetzen. Mit Funktionen dieser Form lassen sich auch mehr Zusammenhänge darstellen, die du in einem Koordinatensystem veranschaulichen kannst.

Lineare Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen

Diese Gleichungen haben mehrere Variable. Sie treten häufig in der Form \(a_1 x_1 + a_2 x_2 + … + a_n x_n = b \) auf. Auch hier treten alle Variablen \(x_1,\ …,\ x_n\) in der ersten Potenz auf. Um die konkrete Lösung zu bestimmen, werden häufig mehrere solcher Gleichungen gegeben und als lineares Gleichungssystem dargestellt.

In der Schule kommen meistens nur Gleichungen der Form \(y = ax + b\) vor. Sie haben also nur zwei Variable und lassen sich gut lösen. Wenn man diese Form beibehält, aber \(y\) nicht als fest annimmt, so handelt es sich um eine lineare Funktion. Das ist der erste Funktionstyp, mit dem du in der Schule in Kontakt kommst. Man verwendet dann die Schreibweise \(f(x) = ax + b\).

Zu welcher Art von Gleichungen gehören lineare Gleichungen?

Lineare Gleichungen sind die einfachste Form von Potenzgleichungen. Allgemein lassen Potenzgleichungen alle Potenzen zu, die linearen jedoch nur diejenigen mit einer Potenz von \(1\). Beispiele für Potenzgleichungen, die nicht linear sind, sind die quadratischen und kubischen Gleichungen.

Wozu braucht man lineare Gleichungen?

Lineare Gleichungen sind die Grundlage für lineare Funktionen. Diese Funktionen sind von großer Bedeutung im Alltag und in den Wissenschaften. Damit du später gut mit ihnen umgehen kannst, musst du diese Gleichungen aufstellen und lösen können. Das wird in erster Linie mit Textaufgaben geübt.

Einfache lineare Gleichungen in der Schule

Für gewöhnlich werden in der Schule einfache lineare Gleichungen behandelt. Dabei werden alltägliche Zusammenhänge betrachtet, zum Beispiel Preise für Güter oder Abstände zwischen Objekten. Manchmal wird gefragt, wie schnell sich eine Person bewegen muss, um innerhalb eines gewissen Zeitraums einen bestimmten Abstand hinter sich zu bringen.

Lineare Gleichungen als Grundlage von Funktionen

Spinnen wir nun das Beispiel mit der sich bewegenden Person weiter. Wir wollen jetzt nicht mehr wissen, wie viel sie noch rennen muss, um anzukommen. Jetzt interessiert uns die Frage, wo sie gestartet ist oder wo sie zu einer anderen Zeit war. Dafür kann man annehmen, dass sie sich immer gleich schnell bewegt. In diesem Fall können wir aus unserer Gleichung eine Funktion machen. Diese Funktion beschreibt dann den Zusammenhang zwischen Zeit und zurückgelegter Entfernung.