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Symmetrie

5. ‐ 6. Klasse Dauer: 15 Minuten

Was ist Symmetrie?

Symmetrie ist eine Eigenschaft von Figuren. Wenn du eine symmetrische Figur auf eine passende Weise drehst, verschiebst oder spiegelst, verändert sie sich nicht. Ganz allgemein spricht man dabei von Spiegelungen. Eine symmetrische Figur kann also durch eine bestimmte Spiegelung auf sich selbst abgebildet werden.

Damit du einen guten Überblick erhältst, solltest du dir die Übungen für diesen Abschnitt anschauen. Versuche danach doch die Klassenarbeiten zum Thema „Symmetrien und Spiegelungen“ zu lösen, um deinen Wissensstand zu prüfen.

Was ist Symmetrie und welche Arten gibt es?

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Symmetriearten

Symmetriearten

Symmetriearten

Was du wissen musst

  • Was bedeutet „symmetrisch“?

    Symmetrie ist eine Abbildung von Figuren auf sich selbst. Das bedeutet, wenn du eine Figur auf eine bestimmte Weise spiegelst, sieht sie danach genauso aus wie zuvor. Ist das der Fall, so wird die Figur symmetrisch genannt.

    Dabei gibt es ganz unterschiedliche Arten von Symmetrie. Nicht jede Figur besitzt dieselbe Art von Symmetrie. Hierbei kommt es darauf an, die Symmetriearten zu erkennen und genau zu beschreiben. Das Tolle an symmetrischen Figuren ist, dass du sie mit einfachen Werkzeugen zeichnen kannst.

    Auch bei Kurvendiskussionen in den höheren Klassenstufen spielt Symmetrie eine wichtige Rolle. So kannst du mithilfe von funktionellen Gesetzmäßigkeiten die Symmetrien der Funktionsgraphen bestimmen.

  • Welche Arten von Symmetrien gibt es?

    Es gibt unterschiedliche Arten von Symmetrien. Das sind

    • die Drehsymmetrie,
    • die Punktsymmetrie,
    • die Achsensymmetrie und
    • die Verschiebungssymmetrie.

    Drehsymmetrie

    Bei der Drehsymmetrie drehst du eine Figur um einen bestimmten Winkel. Ein Beispiel hierfür ist ein Quadrat. Wenn du es um \(90^\circ\) um sein Drehzentrum bewegst, erhältst du wieder dasselbe Quadrat.

    Die Drehsymmetrie wird an einem Viereck dargestellt.

    Punktsymmetrie

    Die Punktsymmetrie, auch Punktspiegelung genannt, ist die Spiegelung an einem Punkt. Dieser wird Symmetriezentrum genannt.

    Die Punktsymmetrie ist ein Sonderfall der Drehsymmetrie. Sie entspricht der Drehsymmetrie mit einem Winkel von \(180^\circ\). Ein Beispiel hierfür ist ein Parallelogramm. Wenn sich das Symmetriezentrum in der Mitte des Parallelogramms befindet, entsteht bei einer Punktspiegelung wieder dieselbe Figur.

    Punktsymmetrie an einem Viereck dargestellt

    Achsensymmetrie

    Von Achsensymmetrie ist die Rede, wenn man eine Gerade durch den Körper legen kann und durch Spiegelung aller Punkte daran die ursprüngliche Form der Figur erhalten bleibt.

    Ein Beispiel hierfür ist das Quadrat. Es verfügt über vier Symmetrieachsen.

    Verschiebungssymmetrie

    Die bei der Verschiebungssymmetrie verschiebst du die Figur in eine bestimmte Richtung und um eine bestimmte Strecke. Diese Richtung wird auch Translationsrichtung genannt. Die Verschiebungssymmetrie tritt häufig bei Bandornamenten oder anderen (unendlich) langen Figuren auf.

    Wichtig bei all diesen Symmetrien ist, dass diese nicht nur im zweidimensionalen Raum auftreten können. Auch Körper können symmetrisch sein. Ein solcher Körper ist zum Beispiel die Kugel.

  • Was ist eine Spiegelung in der Mathematik?

    Eine Spiegelung ist in der Mathematik die Durchführung einer Symmetrieabbildung. Das klingt komplizierter, als es ist.

    Vorgehen

    Wenn du eine Figur spiegeln möchtest, musst du zuerst die Eigenschaften der Spiegelung kennen. Stelle dir die folgenden Fragen:

    1. Welche Figur möchtest du spiegeln?
    2. Welche Art von Spiegelung möchtest du ausführen?
    3. Welche Eigenschaften musst du für diese Spiegelung kennen?

    Je nach Symmetrieart musst du zunächst beispielsweise die Symmetrieachse oder den Symmetriepunkt kennen.

    Im Anschluss verwendest du deine Zeichenmaterialien, um die Spiegelung durchzuführen. Hierbei ist, wie bei allen anderen geometrischen Arbeiten, besondere Sorgfalt gefragt. Wenn du mit der Spiegelung fertig bist, bilden deine ursprüngliche Figur und ihre Spiegelung gemeinsam eine neue Figur, die symmetrisch ist.

    Materialien

    Spiegelungen kannst du auf unterschiedliche Weise durchführen: entweder mit dem Geodreieck oder mit Zirkel und Lineal. In beiden Fällen brauchst du immer einen angespitzten Bleistift. Dieser sollte am besten hart sein, da dadurch die Linien dünner und genauer werden. Bei einigen Konstruktionen bietet sich das Zeichnen auf Millimeterpapier an. Das kommt jedoch auf die Aufgabenstellung an.