Was du wissen musst
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Wie viele Nullstellen haben ganzrationale Funktionen?
Um zu klären, wie viele Nullstellen eine ganzrationale Funktion hat, musst du den Grad dieser Funktion kennen. Das ist die höchste Potenz \(n\), die in dieser Funktion auftritt.
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede Polynomfunktion vom Grad \(n\) maximal \(n\) Nullstellen haben kann.
Im ganzrationalen Fall kannst du deine Funktion faktorisieren, sodass sie folgende Form hat:
\(f(x) = (x-a_1) \cdot \ ...\, \cdot (x - a_k) \cdot g(x)\)
Dabei sind die Werte \(a_1,\, ..., a_k\) die Nullstellen und \(g(x)\) ist der nicht faktorisierbare Rest. Stellst du deine Funktion so dar, wird dir das mehrfache Auftreten einzelner Nullstellen auffallen. Das sind dann sogenannte mehrfache Nullstellen.
Jetzt kennst du zwar die maximale Anzahl der Nullstellen, aber nicht die minimale. Es kann passieren, dass einige Funktionen keine reelle Nullstelle besitzen. Hierbei liegt die Betonung auf „reelle“. Das bedeutet, es gibt noch andere Zahlen, die komplexen Zahlen, die eine Nullstelle bilden können. Das sind Zahlen, mit denen du zum Beispiel die p-q-Formel für negative Diskriminanten lösen kannst. Schau dir für solche Aufgaben den Abschnitt zu komplexen Zahlen an.
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Wie berechnet man erfolgreich Nullstellen von ganzrationalen Funktionen?
Um die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen zu können, musst du zwei Werkzeuge beherrschen: die Polynomdivision und die Substitution. Wir werden jetzt herausfiltern, wie du Nullstellen für Polynomfunktionen unterschiedlichen Grades bestimmst. Dabei ist das Ziel, die Funktion sukzessiv zu faktorisieren und nur die Nullstellen des jeweiligen Restterms zu bestimmen.
Zunächst einmal musst du bei Funktionen hohen Grades meistens die Nullstelle erraten. Wenn du die erste Nullstelle \(a_1\) gefunden hast, wird die Polynomdivision durchgeführt. So erhältst du den Term \(f(x) = (x – a_1) \cdot f_{\text{Rest}}(x)\). Dann errätst du wieder die Nullstelle von \(f_{\text{Rest}}(x)\) und führst erneut die Polynomdivision durch. Das wiederholst du so lange, bis du \(f_{\text{Rest}}(x)\) erreichst, das nur noch vom Grad \(4\) oder kleiner ist. Das heißt, du musst die Schritte so lange wiederholen, bis du nicht mehr raten musst.
Diese Gleichung kannst du dann mit Substitution und der p-q-Formel oder Mitternachtsformel lösen. Also musst du nur noch die restlichen Nullstellen berechnen. Anschließend führst du wieder die Polynomdivision durch und hast im besten Fall die Funktion \(f(x)\) in der Form:
\( f(x) = (x – a_1) \cdot \,…\, \cdot (x – a_n)\)
Es kann aber auch passieren, dass du weniger als \(n\) Nullstellen findest, was auch nicht so schlimm ist. In diesem Fall hast du eine Funktion in folgender Form:
\(f(x) = (x - a_1) \cdot \ ...\ \cdot (x - a_k) \cdot f_{\text{Rest}}(x)\)
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Wie viele Schnittpunkte haben ganzrationale Funktionen?
Schnittstellen von Funktionen sind insofern auch Nullstellen der subtrahierten Funktionen \(f(x) - g(x) = 0\). Das bedeutet, dass die Anzahl Schnittstellen maximal dem Grad von \(f(x) - g(x)\) entsprechen kann.
Die Nullstellen zweier ganzrationaler Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) vom Grad \(n\) bzw. \(m\), wobei \(n \geq m\), haben maximal \(n\) Schnittstellen. Das liegt daran, wie man diese Schnittstellen berechnet. Dazu müssen nämlich \(f(x)\) und \(g(x)\) gleichgesetzt werden. Durch Umstellen nach \(0\) erhältst du dann eine Funktion vom Grad \(n\). Daraus folgt mit dem Fundamentalsatz der Algebra, dass es auch maximal \(n\) Nullstellen und damit \(n\) Schnittstellen geben kann.
Sind \(m\) und \(n\) aber gleich groß und steht in beiden Funktionen derselbe Koeffizient davor, kann auch ein kleineres Polynom entstehen.
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Wie berechnet man erfolgreich Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen?
Das berechnen der Schnittstellen ist an sich auch nur das Berechnen von Nullstellen. Dafür musst du zuerst die Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) gleichsetzen:
\(f(x) = g(x)\)
Dann stellst du die Gleichung nach \(0\) um, sodass du folgende Gleichung erhältst:
\(f(x) - g(x) = 0\)
Jetzt musst du die Nullstellen \(x_1, \,..., x_k\) der dadurch entstandenen Gleichung bestimmen. Da du die Schnittpunkte berechnen willst, fehlen dir noch die entsprechenden y-Werte. Dafür setzt du in eine der beiden Gleichungen \(f(x)\) und \(g(x)\) deine Nullstellen ein. Durch das Lösen von zum Beispiel
\(f(x_i) = y_i\)
erhältst du die Punkte \((x_i,y_i)\). Das machst du jetzt für alle deine Nullstellen. Um sicherzugehen, dass du auch keinen Fehler gemacht hast, bietet sich eine Probe an. Dazu setzt du deine Nullstelle in die andere Gleichung
\(g(x_i) = y_i\)
ein und schaust, ob die y-Werte identisch sind. Wenn nicht, hast sich irgendwo ein Fehler in deine Rechnung eingeschlichen. In dem Fall musst du noch mal schauen, ob dein \(x_i\) wirklich eine Nullstelle von \(f(x) - g(x)\) ist.