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Gleichungssysteme einfach erklärt

Klassenstufe:

Um Aufgaben mit Gleichungssystemen rechnen zu können, solltest du wissen, was man unter Gleichungen in der Mathematik versteht. Gleichungen sind Terme in denen Variablen, meistens ein x, vorkommen.

\(x - 3 = 9\)

Die richtige Lösung für die Variable ist die Zahl, bei der die Gleichung korrekt ist.

Gleichungssysteme in Mathe sind eine Menge von Gleichungen mit unbekannten Variablen, die für alle Gleichungen gleichzeitig Geltung besitzen. In einem Gleichungssystem müssen alle Variablen für alle Gleichungen die gleiche Lösung haben.

Hier findest du die wichtigsten Themen zu Gleichungssystemen.

Was ist ein Gleichungssystem?

  • Ein Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei Gleichungen mit jeweils mindestens einer gemeinsamen Unbekannten.
  • Die Lösung für die jeweilige Variable muss für alle Gleichungen gleichzeitig gelten.

 

Gleichungssysteme berechnen: Wie funktioniert das?

Man unterscheidet zwischen linearen Gleichungssystemen (LGS) sowie homogenen und inhomogenen Gleichungssystemen. In der Schule werden dir in erster Linie die linearen Gleichungssysteme begegnen. Dabei handelt es sich um eine Menge von linearen Gleichungen. Kennzeichnend für lineare Gleichungen ist, dass die Variablen nur in der ersten Potenz vorkommen, also \(x\) oder \(x^2\), und nicht z. B. quadriert wurden. 

Die Bedingungen für die Gleichungssysteme gibt z. B. eine Textaufgabe vor, die das Vielfache der Variablen sowie die Summe enthalten sollte. Diese lassen sich als Gleichung aufstellen. Dies wird für die weiteren Gleichungen wiederholt. Beispielhaft sehen Gleichungssysteme mit zwei Variablen so aus:

\(\begin {align}2x + 4y &= 80\\ 4x - 2y &= 40\end{align}\)

Die Lösung für ein lineares Gleichungssystem besteht immer aus so vielen Lösungen wie Variablen enthalten sind. Im oben genannten Beispiel wären es zwei Lösungen: x und y.

Beachte:

  • Die Variable muss nicht x sein, sondern kann auch jeder andere Buchstabe sein.
  • Es gibt auch Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen.

Verschiedene Wege führen zur Lösung

Für die Lösung von Gleichungssystemen werden verschiedene Verfahren angewandt. In der Schule lernst du meistens diese:

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

Zusätzlich gibt es auch das Gauß-Eliminationsverfahren, das lernt man in der Schule aber meistens nicht.

Welches dieser Lösungsverfahren du in einer Aufgabe anwendest, hängt davon ab, wie dein Gleichungssystem aufgebaut ist. Je nachdem ist ein Lösungsverfahren einfacher oder schneller als ein anderes.

Aber immer gilt:
Werden alle Lösungsverfahren für dasselbe Gleichungssystem angewandt, kommt immer die gleiche Lösung heraus.

Wo kommen Gleichungssysteme zum Einsatz?

Im Alltag wird man Gleichungssysteme in der Regel nicht anwenden, etwa um die Preise für Lebensmittel oder Kosten für Handytarife zu berechnen. Wer aber zum Beispiel eine berufliche Laufbahn im technischen Bereich anstrebt, sollte bei diesem Thema in Mathematik gut aufpassen. Computer, Navigationssysteme, Smartphones und die Computertomografie in der Medizin basieren auf Gleichungssystemen. Anders als in der Schule lösen die technischen Geräte aber enorme Gleichungssysteme mit bis zu einer Million Variablen.

Ein weiteres Anwendungsbeispiel aus der Praxis ist die technische Mechanik, die sich unter anderem mit der Stabilität von belastbaren Körpern, deren Bruchverhalten sowie der Statik von Bauelementen befasst. Auch hier wirst du Gleichungssysteme berechnen müssen. Solltest du also Ingenieur, Architekt, Mechaniker oder Maschinenbauer werden wollen, dann nutze die Erklärungsvideos und Übungen, um das Thema besser zu verstehen.