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Geometrische Grundlagen einfach erklärt

Klassenstufe:

Was sind die Grundlagen der Geometrie?

Die Grundlagen der Geometrie bestehen aus Punkten, Strecken und Figuren. Prinzipiell sind das recht einfache Begriffe, dir dir auch im Alltag immer wieder begegnen, Hier geht es nur darum, genau festzulegen, was diese Begriffe bedeuten und wie man sie in der Geometrie verwendet.

Das ist besonders wichtig, da dir grundlegende Geometrie fast überall begegnet, sei es in der Mathematik später in der Schule oder im Studium, aber auch im Alltag, zu Beispiel beim Überqueren einer Straße.

Hier findest du alles, was zu den geometrischen Grundlagen gehört, und du kannst dein Wissen in den Übungen testen. Zum Abschluss kannst du mit den Klassenarbeiten für Prüfungen in der Schule üben.

Was sind Punkte, Strecken und Figuren?

Wenn du dich mit deinen Freunden zum Schwimmen verabredest, macht ihr einen Treffpunkt und einen Zeitpunkt aus, an und zu dem ihr euch treffen wollt. In der Regel ist das ein Ort, den alle leicht erreichen können. Vielleicht holt jemand auf dem Weg zum Treffpunkt auch noch jemanden ab, weil dieser den Weg nicht kennt. Am Treffpunkt überlegt ihr euch, welchen Weg ihr zum Schwimmbad nehmen wollt. Meistens sucht ihr den kürzesten oder fahrt noch an der Eisdiele vorbei. Der Weg zum Schwimmbad setzt sich also aus einer Reihe von Punkten zusammen.
In der Umgangssprache bezeichnet ein Punkt einen kleinen, oft runden Fleck oder einen Ort bei euch in der Stadt.
Punkte gehören auch zu den Grundlagen der Geometrie. Allerdings hat ein mathematischer Punkt keine Länge, keine Breite und auch keine Höhe.
Je nachdem, wie Punkte zueinander liegen, können damit viele geometrische Figuren erzeugt werden. Die gerade Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Strecke. Eine Strecke hat eine Länge, die der Entfernung der beiden Punkte voneinander entspricht. Verlängerst du Strecken über die Endpunkte hinaus, so erhältst du Strahlen (Halbgeraden) und Geraden.
Wenn von einem Punkt zwei Linien ausgehen, entsteht zwischen ihnen ein Winkel.
Drei Punkte können ein Dreieck festlegen, mit vier Punkten kann man ein Viereck definieren usw.
Je nachdem, wie die Punkte zueinander liegen, erhält man unterschiedliche Formen von Dreiecken (gleichseitig, gleichschenklig, rechtwinklig) und Vierecken (Quadrat, Rechteck, Trapez usw.).
Mit einem Punkt und einer Streckenlänge wird ein Kreis festgelegt.

Was bedeutet zweidimensional (2-D) und dreidimensional (3-D)?

Auf einer Strecke oder einer Geraden kannst du dich nur vorwärts und rückwärts bewegen. Daher spricht man von einem eindimensionalen Gebilde. Eine Strecke hat zwar eine Länge, aber weder eine Breite noch eine Höhe.

In einer Ebene kannst du dich zusätzlich auch nach links und rechts bewegen. Ebenen und Flächen sind also zweidimensionale Objekte. Es gibt Längen und Breiten, aber keine Höhen.

Wir Menschen können uns in drei verschiedene Richtungen bewegen. Vorwärts und rückwärts, nach links und rechts, nach oben und unten. Wir leben in einer dreidimensionalen (räumlichen) Welt.

Bei den geometrischen Grundlagen verzichtet man zunächst auf die räumliche Höhe. Es werden nur Objekte in einer Ebene, also in einer 2-D-Welt, betrachtet. Für sehr viele praktische Anwendungen ist diese vereinfachte Betrachtungsweise vollkommen ausreichend. Erst später, wenn du zum Beispiel ausrechnen möchtest, wie viel Wasser in dein Aquarium passt oder wie hoch ein Turm ist, kommt die dritte Dimension hinzu.

Um die Lage von Punkten zueinander beschreiben zu können, werden Koordinatensysteme eingeführt. Diese sind ähnlich wie die Felder auf einem Schachbrett oder GPS-Koordinaten in einem Navigationssystem.

Was sind geometrische Konstruktionen?

Bei einer Konstruktion erstellt man mithilfe von Zirkel, Lineal und einem spitzen Bleistift eine exakte Zeichnung einer Figur. Dazu müssen natürlich einige Angaben über die Art der Figur und ihre Seiten und Winkel gegeben sein.
Es werden die Schnittpunkte von Halbgeraden, Geraden und Kreisen verwendet, um fehlende Punkte zu ermitteln. Das Lineal hilft dabei, gerade Linien zu zeichnen, und wird streng genommen nicht verwendet, um Längen abzumessen.
Damit eine Konstruktion von jedem nachgemacht werden kann, werden Konstruktionspläne angefertigt. Die Pläne werden auch Konstruktionsbeschreibungen genannt. Darin wird jeder einzelne Schritt der Konstruktion genau festgehalten.
Um diese Beschreibungen nicht zu umfangreich werden zu lassen, werden dabei geometrische Grundkonstruktionen  verwendet. Das sind sozusagen „Kochrezepte“ für immer wiederkehrende Konstruktionen und diese wirst du auswendig lernen müssen.

Wozu braucht man geometrische Grundlagen?

Geometrische Grundlagen wendest du zum Beispiel im Alltag an:

  • beim Einräumen deines Kleiderschranks
  • beim Überqueren der Straße (kürzester Weg)
  • beim Aufhängen eines Regals
  • um die Größe deines Zimmers zu bestimmen
  • beim Einpacken deiner Pausenbrote in deine Brotbox

Das alles sind Tätigkeiten, die du vielleicht mal machen musst, bei denen es hilft, wenn du ein geometrisches Grundverständnis hast und vielleicht sogar mit geometrischen Angaben rechnen kannst. Es gibt aber auch sehr viel kompliziertere Anwendungen, die dir später in deinem Berufsleben begegnen können und bei denen es unheimlich wichtig ist, dass du die Geometrie sicher beherrschst.

  • Wie ordnet man die Parknischen auf einem Parkplatz an, damit möglichst viele Autos darauf Platz finden?
  • Wie ordnet man die Bauteile eines Computerchips an, damit die Leiterbahnen möglichst kurz werden. Das erhöht die Rechengeschwindigkeit und verhindert, dass der Chip zu warm wird.

Also: Egal ob du später mal einen Beruf hast, in dem du Geometrie brauchst, oder nur manchmal privat etwas erledigen willst, die geometrischen Grundlagen können dir helfen.