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Was sind Gleichungen und was ist beim Lösen zu beachten?

Gleichungen sind ein sehr wichtiges Werkzeug in der Mathematik. Sie werden dazu benutzt, Vorschriften zu machen, Zusammenhänge und Abhängigkeiten abzubilden und Lösungen anzugeben. Außerdem kann man mit ihnen rechnen. Beim Rechnen mit Gleichungen kannst du entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder mehrere Lösungen erhalten.

In diesem Lernweg erfährst du mehr über das Thema Gleichungen. Wie du Gleichungen aufstellst, mit Gleichungen rechnest und wie du Gleichungen erkennst. Dazu erwarten dich hier interaktive Übungen mit Lösungen sowie Probeklassenarbeiten, um deine neuen Fähigkeiten zu testen.

Was ist eine Gleichung?

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Gleichungen

Gleichungen

Gleichungen

Wie du Gleichungen aufstellst

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Gleichungen aufstellen

Gleichungen aufstellen

Gleichungen aufstellen

Wie du Gleichungen nach x auflöst

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Gleichungen nach x auflösen

Gleichungen nach x auflösen

Gleichungen nach x auflösen

Sonderfälle bei Lösungsmengen (Grundmenge Q oder leere Menge)

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Sonderfälle bei Lösungsmengen

Sonderfälle bei Lösungsmengen

Sonderfälle bei Lösungsmengen

Wie du lineare Gleichungen zeichnerisch löst

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Gleichungen zeichnerisch lösen

Gleichungen zeichnerisch lösen

Gleichungen zeichnerisch lösen

Schlussrunde: Gleichungen lösen

Schlussrunde: Gleichungen lösen

Schlussrunde: Gleichungen lösen

Was du wissen musst

  • Wozu werden Gleichungen benötigt?

    Informationen und Lösungen angeben

    „Spieldauer: 105 Minuten“. Bereits diese Angabe auf einer DVD-Hülle ist eigentlich eine Gleichung. Mathematisch würden wir eher „\(\text{Spieldauer} = 105\,\min\)“ oder „\(t = 105\, \min\)“ schreiben, aber es drückt das Gleiche aus. Auf diese Weise können mit Gleichungen Informationen oder Lösungen ausgedrückt werden. Häufig musst du Gleichungen Aufstellen, wenn du Textaufgaben lösen möchtest.

    Beziehungen ausdrücken

    Es lassen sich auch Beziehungen oder Verhältnisse mit Gleichungen angeben. Zum Beispiel: Die Seite \(a\) ist doppelt so lang wie die Seite \(b\). Die zugehörige Gleichung lautet \(a = 2\cdot b\).

    Gültigkeit von Aussagen überprüfen

    Wenn du eine Aussage mathematisch formuliert hast, kannst du durch das Umformen einer Gleichung ihre Gültigkeit überprüfen. Eine Aussage kann entweder wahr oder falsch sein. Eine Aussage wie \(4=4\) ist wahr. Eine Aussage wie \(4=5\) hingegen ist falsch. Insbesondere zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist, kann dir bei mathematischen Beweisen helfen – bei sogenannten Widerspruchsbeweisen.

    Zum Umformen und Ausrechnen

    Wenn du eine Gleichung gegeben hast, kannst du sie umformen und mit ihr rechnen. Dazu benötigst du Äquivalenzumformungen.

    Beispiel:

    \(\begin{align} x+2 &= 5\quad |-2 \\ x &= 3 \end{align}\)

  • Wie stellt man Gleichungen auf?

    Besonders bei Textaufgaben wirst du häufig aus gegebenen Informationen selbst Gleichungen aufstellen. Dafür musst du die Informationen gründlich lesen und dann als einen mathematischen Zusammenhang angeben.

    • Dir wird fast immer eine Größe angegeben, die du bestimmen sollst. Das nennt man die Variable. Manchmal ist vorgegeben, wie sie heißen soll, manchmal darfst du es dir frei aussuchen. Normalerweise benennt man die Variable mit einem kleinen Buchstaben wie zum Beispiel \(x\) oder \(a\).
    • Wenn du die Variable entdeckt hast, versuchst du, alle Informationen über diese Variable herauszufinden.
  • Wie kann man Gleichungen lösen?

    Es gibt unterschiedliche Wege, eine Gleichung zu lösen. Eine Möglichkeit ist, passende Werte für die Variable zu erraten. Diese Methode ist allerdings unzuverlässig. Deshalb löst man Gleichungen meistens, indem man sie umstellt.

    Um Gleichungen zu lösen, stellst du sie so um, dass ihre Variable allein auf einer Seite steht. Dazu verwendest du fast immer Äquivalenzumformungen. Dabei musst du alle Rechenoperationen immer auf beiden Seiten anwenden. Eine Gleichung wie \(2\cdot x + 1 = 3\cdot x -2\) kannst du beispielsweise zu \(x=3\) umformen.

    Manchmal kannst du auch Gleichungen lösen, indem du mehrere Gleichungen addierst oder subtrahierst, in Form eines linearen Gleichungssystems. Das ist aber ein Sonderfall.

  • Wie erkenne ich eine Gleichung?

    In mathematischen Ausdrücken erkennst du eine Gleichung daran, dass ein Gleichheitszeichen steht. In Textform musst du darauf achten, ob dir über eine Größe eine Information gegeben wird, ob du die Abhängigkeit zweier Größen voneinander kennst oder ob du weißt, dass die eine größer oder kleiner ist als die andere. Im letzten Fall würde es sich allerdings um eine Ungleichung handeln.

  • Was bedeutet es, wenn bei einer Gleichung beide Seiten exakt gleich sind?

    Dass beide Seiten einer Gleichung exakt gleich sind, kommt relativ selten vor. Deshalb solltest du überprüfen, ob du auch wirklich richtig gerechnet hast. Wenn du das getan hast, bedeutet es, dass die Aussage der Gleichung immer wahr ist, egal was du für die Variablen einsetzt.

    Im Normalfall sollte am Ende, wenn du eine richtige Zahl für die Variable eingesetzt hast, auch auf beiden Seiten exakt das Gleiche stehen. Aber nur für eine richtige Zahl, nicht für alle Zahlen.

    Beispiele:

    \(x + 2 = x+2\)

    \(0 = 0\)

     

    Egal was für das \(x\) eingesetzt wird, die Aussage ist immer wahr.