Wie sind quadratische Gleichungen definiert?

Nachdem du gelernt hast, was lineare Gleichungen sind, werden dir quadratische Gleichungen begegnen und dich bis zum Abitur begleiten.  In der Mathematik werden quadratische Gleichungen so definiert: Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, bei der die höchste Potenz einer Variablen die zweite Potenz ist.

Das klingt komplizierter, als es ist. Von den linearen Funktionen unterscheiden sie sich nur durch einen Term mit einem \(x^2\). Grafisch betrachtet, ergeben quadratische Gleichungen Parabeln.

In den Lernwegen findest du alles, was du zu quadratischen Gleichungen wissen musst. Wenn du möchtest, kannst du dort Aufgaben dazu bearbeiten. Außerdem findest du weiter unten auch Arbeiten mit Musterlösungen zum Thema.

Quadratische Gleichungen – die beliebtesten Themen

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Welche Formen der quadratischen Gleichungen gibt es?

Eine Variable der Gleichung (meistens x) wird also quadriert und es kommt keine höhere Potenz vor. Allgemeine quadratische Gleichungen sehen zum Beispiel so aus:

  • Allgemeinform: \(ax^2+bx+c=0\) (wenn \(a\neq 0\))
  • Normalform: \(x^2+px+q=0\)

Die Variable x hat in dieser Gleichung eine quadratische Potenz („hoch 2“). Zum Vergleich: Eine Variable x³ hat die kubische Potenz („hoch 3“). Eine solche Gleichung wird auch als kubische Gleichung bezeichnet. Hat die Variable x nur eine Potenz („hoch 1", x1 oder nur x), handelt es sich um eine lineare Gleichung.

Neben der Normalform gibt es weitere quadratische Gleichungen:

  • Fehlt das lineare Glied bx, spricht man von einer rein quadratischen Gleichung:
    \(ax^2+c=0\)
  • Fehlt das absolute Glied (Konstante) c, spricht man von der quadratischen Gleichung ohne Absolutglied:
    \(ax^2+bx=0\)
  • Kann die quadratische Gleichung in Linearfaktoren zerlegt werden, spricht man von der Produktform oder faktorisierten Form:
    \((x+z)(x+y)=0\)

Quadratische Gleichungen umformen und auflösen – wie geht das?

Wenn du quadratische Gleichungen auflösen möchtest, musst du deine Gleichung erst einmal umformen. Dazu stehen dir grundsätzlich drei Lösungswege zur Verfügung.

Lösungsformel

Die Mitternachtsformel, auch ABC-Formel genannt, verwendest du zum Lösen quadratischer Gleichungen in der Allgemeinform:

\(ax^2+bx+c=0\)

Du setzt einfach die Werte für a, b und c in die Lösungsformel ein:

\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

p-q-Formel

Kannst du die quadratische Gleichung durch Äquivalenzformung in die Normalform \(x^2+px+q=0\) bringen, kannst du die p-q-Formel anwenden:

\(-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2}^{2})-q}\)

Quadratische Ergänzung

Die dritte Möglichkeit, quadratische Gleichungen zu lösen, ist die quadratische Ergänzung. Sie hilft besonders, wenn du die Scheitelpunktformel anwenden willst, um den Scheitel einer Parabel zu berechnen. Ziel der quadratischen Ergänzung ist die Umformung der quadratischen Gleichung von der Normalform in ein quadriertes Binom, sodass du die 1. oder 2. binomische Formel anwenden kannst. 

Lösungsformel: \((x-d)^{2}-e=0\)

Verständlicher wird das Lösen von quadratischen Gleichungen mit unseren Erklärvideos und Übungen. Dort sind die quadratischen Gleichungen noch einmal einfach erklärt und du lernst anhand von leicht verständlichen Aufgaben, wie du die Formeln anwendest. Außerdem findest du jede Menge Aufgaben und Übungen.

Wozu nutzt man quadratische Gleichungen?

Im Mathematikunterricht brauchst du quadratische Gleichungen, um Nullstellen von quadratischen Funktionen in der Analysis zu berechnen und um Kurvendiskussionen durchzuführen.

Spätestens wenn du dich für physikalische Effekte wie die Fallgeschwindigkeit, Bremskraft, den freien Fall oder die Hubkraft von Maschinen interessierst, benötigst du quadratische Gleichungen. Möchtest du zum Beispiel Ingenieur oder Maschinenbauer in den Bereichen Kraftfahrzeugbau oder Luft- und Raumfahrt werden, musst du mithilfe von quadratischen Gleichungen Fragen zur Beschleunigung, Statik, Trägheit oder zum Bremsweg lösen.