Was du wissen musst
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Welche Arten von Graphen ganzrationaler Funktionen gibt es?
Die Gerade und die Parabel:
- Die Gerade hat die allgemeine Funktionsgleichung \(g(x)=a_1x+a_0\).
- Die Parabel lässt sich allgemein mit \(f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0\) beschreiben.
Die Gerade ist somit eine ganzrationale Funktion ersten und die Parabel zweiten Grades.
Die Graphen ganzrationaler Funktionen können auch nach ihren Symmetrieeigenschaften klassifiziert werden. Sie können
- achsensymmetrisch zu einer Achse sein, die parallel zur \(y\)-Achse ist, z. B. der Graph von \(f\) zu \(x=-1\),
- punktsymmetrisch sein, z. B. der Graph von \(g\) zu \(A \space (0|2)\), oder
- keines von beiden sein, z. B. der Graph von \(h\).
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Welche Eigenschaften sind bei Graphen ganzrationaler Funktionen wichtig?
Symmetrie
Der Graph der ganzrationalen Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(-x)\) übereinstimmen. Du berechnest \(f(x)=f(-x)\).
Beispiel: Der Graph der Funktion \(f(x)=3x^4-6x^2\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \( f(-x)=3(-x)^4-6(-x)^2=3x^4-6x^2=f(x)\) gilt.
Wenn im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen, ist diese ganzrationale Funktion immer achsensymmetrisch.
Der Graph der ganzrationalen Funktion \(f \) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn folgende Bedingung gilt: \(f(-x)=-f(x)\).
Beispiel: Der Graph der Funktion \(f(x)=x^5+x^3-x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung \(O \space (0|0)\), da
\(f(-x)=(-x)^5+(-x)^3-(-x)=-x^5-x^3+x\),
\(-f(x)=-(x^5+x^3-x)=-x^5-x^3+x\) und somit \(f(-x)=-f(x)\) gilt.
Wenn im Funktionsterm nur ungerade Exponenten vorkommen, ist diese ganzrationale Funktion immer punktsymmetrisch.
Die Achsen- und Punktsymmetrie funktioniert auch an anderen Achsen bzw. Punkten. Wird die Funktion \(f(x)=x^5+x^3-x\) zum Beispiel um \(1\) in \(y\)-Richtung verschoben, so ist die Funktion \(g(x)=f(x)+1=x^5+x^3-x+1\) punktsymmetrisch zu dem Punkt \(A \space (0|1)\).
Grad der Funktionen
Eine weitere Eigenschaft der ganzrationalen Funktion ist, dass dir der Grad der Funktion verrät, wie viele Nullstellen die Funktion höchstens besitzt. Der Graph einer linearen Funktion hat höchstens eine Nullstelle, der Graph einer quadratischen Funktion höchstens zwei. Wie viele Nullstellen besitzt also der Graph einer ganzrationalen Funktion des \(n\)-ten Grades höchstens?
Richtig, er besitzt höchstens \(n\) Nullstellen.
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Wie erkennt man Graphen ganzrationaler Funktionen?
Der Graph einer ganzrationalen Funktion verläuft allgemein wie folgt:
Grad der Funktion gerade
Grad der Funktion ungerade
\(a_n\) positiv
von II nach I
von III nach I
\(a_n\) negativ
von III nach IV von II nach IV Betrachte erneut zwei dir bereits bekannte Graphen:
Der Graph der Gerade \(f(x)=x\) verläuft vom III. zum I. Quadranten des Koordinatensystems.
Ebenso ergeht es allen ganzrationalen Funktionen \(f(x)=a_n x^n+⋯+a_0\) mit positiven \(a_n\), deren Funktionsgrad ungerade ist.
Zum Beispiel: \(g(x)=2x^3-x^2+2\).
Der Graph der Parabel \(f(x)=x^2\) verläuft vom II. zum I. Quadranten des Koordinatensystems.
Ebenso ergeht es allen ganzrationalen Funktionen \(f(x)=a_n x^n+⋯+a_0\) mit positiven \(a_n\), deren Funktionsgrad gerade ist.
Zum Beispiel: \(g(x)=2x^4-x^2+x-1\).
Wenn du dir die Graphen einer negativen Geraden bzw. Parabel anschaust, kannst du den Verlauf des Graphen gleichermaßen nachvollziehen.
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion kann somit stets als Variation einer Geraden oder Parabel gesehen werden. Durch dieses Merkmal kannst du den Graphen einer ganzrationalen Funktion erkennen.
Ausschließen kannst du demnach Graphen nicht ganzrationaler Funktionen. Dazu gehören periodisch verlaufende Graphen wie zum Beispiel von trigonometrischen Funktionen \(f\) oder Graphen, die eine Polstelle besitzen, wie bei gebrochenrationalen Funktionen \(g\).
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Wie kann man Graphen ganzrationaler Funktionen verändern?
Du kannst den Graphen einer ganzrationalen Funktion durch gewisse Einflüsse nach Belieben verändern. Für quadratische Funktionen kennst du diese Einflüsse vermutlich bereits.
Du kannst den Graphen der ganzrationalen Funktion \(f(x)=a_n x^n+⋯+a_0\)
- mit einem Faktor \(|k|>1\) in \(y\)-Richtung strecken mit \(|k|\cdot f(x)\),
- mit einem Faktor \(|k|<1\) in \(y\)-Richtung stauchen mit \(|k|\cdot f(x)\),
- mit einem negativen Faktor \(k\) an der \(x\)-Achse spiegeln mit \(k\cdot f(x)\),
- um einen Summanden \(e\) in \(y\)-Richtung mit \(f(x)+e\) und
- um einen Summanden \(-d\) in \(x\)-Richtung mit \(f(x+d)\) verschieben.
Beispiele:
Verschiebung der Funktion \(f(x)=x^3+2x^2+2\) um \(-1\) in \(y\)-Richtung ergibt \(g(x)=f(x)-1=x^3+2x^2+1\).
Streckung der Funktion \(f(x)=x^3+2x^2\) um \(2\) in \(y\)-Richtung ergibt
\(g(x)=2\cdot f(x)=2x^3+4x^2\).
Verschiebung der Funktion \(f(x)=x^4+x\) um \(-1\) in \(x\)-Richtung ergibt \(g(x)=f(x+1)=(x+1)^4+x+1\).
Stauchung und Spiegelung der Funktion \(f(x)=x^5+x^2\) um \(-\frac{1}{3}\) in \(y\)-Richtung ergibt \(g(x)=-\frac{1}{3}\cdot f(x)=-\frac{1}{3} x^5-\frac{1}{3} x^2\).
