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Graphen ganzrationaler Funktionen

10. Klasse ‐ Oberstufe Dauer: 55 Minuten

Was sind Graphen ganzrationaler Funktionen?

Graphen ganzrationaler Funktionen sind grafische Abbildungen der Funktionsgleichungen ganzrationaler Funktionen in einem Koordinatensystem.

Die allgemeine Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion \(n\)-ten Grades lautet

\(f(x)=a_nx^n+a_{n\ -\ 1}x^{n-1}+\ ...\ +a_1x+a_0\).

Sie hat als Funktionsterm die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Sie wird auch Polynomfunktion bezeichnet und gehört zu den rationalen Funktionen. Die reellen Zahlen \(a_0,\ ...,a_n\)heißen Koeffizienten der ganzrationalen Funktion.

Um den ganzrationalen Funktionen Graphen zuzuordnen, kannst du dir zunächst den Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse anschauen.

Du hast die Möglichkeit, dein Wissen zu den Graphen ganzrationaler Funktionen, einschließlich Erkennen und Zuordnen von Graphen ganzrationaler Funktionen, in den interaktiven Übungen zu festigen und zu erweitern und dich anschließend in der Klassenarbeit zu testen.

Wie du ganzrationalen Funktionen ihren Graphen zuordnest und andersherum

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Ganzrationalen Funktionen ihren Graphen zuordnen und andersherum

Ganzrationalen Funktionen ihren Graphen zuordnen und andersherum

Ganzrationalen Funktionen ihren Graphen zuordnen und andersherum

Wie du ganzrationale Funktionen so bestimmst, dass der Graph der Funktion durch bestimmte Punkte verläuft

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Ganzrationale Funktionen bestimmen, deren Graphen durch bestimmte Punkte gehen

Ganzrationale Funktionen bestimmen, deren Graphen durch bestimmte Punkte gehen

Ganzrationale Funktionen bestimmen, deren Graphen durch bestimmte Punkte gehen

Wie du Graphen von ganzrationalen Funktionen verschiebst, streckst und spiegelst

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Graphen von ganzrationalen Funktionen verschieben, strecken und spiegeln

Graphen von ganzrationalen Funktionen verschieben, strecken und spiegeln

Graphen von ganzrationalen Funktionen verschieben, strecken und spiegeln

Was du wissen musst

  • Welche Arten von Graphen ganzrationaler Funktionen gibt es?

    Die Gerade und die Parabel:

    • Die Gerade hat die allgemeine Funktionsgleichung \(g(x)=a_1x+a_0\).
    • Die Parabel lässt sich allgemein mit \(f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0\) beschreiben.

    Die Gerade ist somit eine ganzrationale Funktion ersten und die Parabel zweiten Grades.

    Ursprungsgerade mit dem Anstieg 1 und eine Normalparabel

    Die Graphen ganzrationaler Funktionen können auch nach ihren Symmetrieeigenschaften klassifiziert werden. Sie können

    • achsensymmetrisch zu einer Achse sein, die parallel zur \(y\)-Achse ist, z. B. der Graph von \(f\) zu \(x=-1\),
    • punktsymmetrisch sein, z. B. der Graph von \(g\) zu \(A \space (0|2)\), oder
    • keines von beiden sein, z. B. der Graph von \(h\).
    Achsensymmetrisch zu x=-1 und punktsymmetrisch zu (0|2)
  • Welche Eigenschaften sind bei Graphen ganzrationaler Funktionen wichtig?

    Symmetrie

    Der Graph der ganzrationalen Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(-x)\) übereinstimmen. Du berechnest \(f(x)=f(-x)\).

    Beispiel: Der Graph der Funktion \(f(x)=3x^4-6x^2\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \( f(-x)=3(-x)^4-6(-x)^2=3x^4-6x^2=f(x)\) gilt.

    Wenn im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen, ist diese ganzrationale Funktion immer achsensymmetrisch.

    Funktion des 4. Grades, achsensymmetrisch zur y-Achse

    Der Graph der ganzrationalen Funktion \(f \) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn folgende Bedingung gilt: \(f(-x)=-f(x)\).

    Beispiel: Der Graph der Funktion \(f(x)=x^5+x^3-x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung \(O \space (0|0)\), da

    \(f(-x)=(-x)^5+(-x)^3-(-x)=-x^5-x^3+x\),

    \(-f(x)=-(x^5+x^3-x)=-x^5-x^3+x\) und somit \(f(-x)=-f(x)\) gilt.

    Wenn im Funktionsterm nur ungerade Exponenten vorkommen, ist diese ganzrationale Funktion immer punktsymmetrisch.

    Verschiebung des Graphen um 1 in die y-Richtung

    Die Achsen- und Punktsymmetrie funktioniert auch an anderen Achsen bzw. Punkten. Wird die Funktion \(f(x)=x^5+x^3-x\) zum Beispiel um \(1\) in \(y\)-Richtung verschoben, so ist die Funktion \(g(x)=f(x)+1=x^5+x^3-x+1\) punktsymmetrisch zu dem Punkt \(A \space (0|1)\).

     

    Grad der Funktionen

    Eine weitere Eigenschaft der ganzrationalen Funktion ist, dass dir der Grad der Funktion verrät, wie viele Nullstellen die Funktion höchstens besitzt. Der Graph einer linearen Funktion hat höchstens eine Nullstelle, der Graph einer quadratischen Funktion höchstens zwei. Wie viele Nullstellen besitzt also der Graph einer ganzrationalen Funktion des \(n\)-ten Grades höchstens?

    Richtig, er besitzt höchstens \(n\) Nullstellen.

  • Wie erkennt man Graphen ganzrationaler Funktionen?

    Der Graph einer ganzrationalen Funktion verläuft allgemein wie folgt:

     

    Grad der Funktion gerade

    Grad der Funktion ungerade

    \(a_n\) positiv

    von II nach I

    von III nach I

    \(a_n\) negativ

    von III nach IV von II nach IV

    Betrachte erneut zwei dir bereits bekannte Graphen:

    Der Graph der Gerade \(f(x)=x\) verläuft vom III. zum I. Quadranten des Koordinatensystems.

    Ebenso ergeht es allen ganzrationalen Funktionen \(f(x)=a_n x^n+⋯+a_0\) mit positiven \(a_n\), deren Funktionsgrad ungerade ist.

    Zum Beispiel: \(g(x)=2x^3-x^2+2\).

    Verlauf des Graphens einer ganzrationalen Funktion mit ungeraden Exponenten

    Der Graph der Parabel \(f(x)=x^2\) verläuft vom II. zum I. Quadranten des Koordinatensystems.

    Ebenso ergeht es allen ganzrationalen Funktionen \(f(x)=a_n x^n+⋯+a_0\) mit positiven \(a_n\), deren Funktionsgrad gerade ist.

    Zum Beispiel: \(g(x)=2x^4-x^2+x-1\).

    Wenn du dir die Graphen einer negativen Geraden bzw. Parabel anschaust, kannst du den Verlauf des Graphen gleichermaßen nachvollziehen.

    Verlauf des Graphens einer ganzrationalen Funktion mit geradem Exponenten

    Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion kann somit stets als Variation einer Geraden oder Parabel gesehen werden. Durch dieses Merkmal kannst du den Graphen einer ganzrationalen Funktion erkennen.

    Ausschließen kannst du demnach Graphen nicht ganzrationaler Funktionen. Dazu gehören periodisch verlaufende Graphen wie zum Beispiel von trigonometrischen Funktionen \(f\) oder Graphen, die eine Polstelle besitzen, wie bei gebrochenrationalen Funktionen \(g\).

    trigonometrisch und gebrochenrationale Funktion zu Verdeutlichung des Unterschiedes
  • Wie kann man Graphen ganzrationaler Funktionen verändern?

    Du kannst den Graphen einer ganzrationalen Funktion durch gewisse Einflüsse nach Belieben verändern. Für quadratische Funktionen kennst du diese Einflüsse vermutlich bereits.

    Du kannst den Graphen der ganzrationalen Funktion \(f(x)=a_n x^n+⋯+a_0\)

    • mit einem Faktor \(|k|>1\) in \(y\)-Richtung strecken mit \(|k|\cdot f(x)\),
    • mit einem Faktor \(|k|<1\) in \(y\)-Richtung stauchen mit \(|k|\cdot f(x)\),
    • mit einem negativen Faktor \(k\) an der \(x\)-Achse spiegeln mit \(k\cdot f(x)\),
    • um einen Summanden \(e\) in \(y\)-Richtung mit \(f(x)+e\) und
    • um einen Summanden \(-d\) in \(x\)-Richtung mit \(f(x+d)\) verschieben.

    Beispiele:

    Verschiebung der Funktion \(f(x)=x^3+2x^2+2\) um \(-1\) in \(y\)-Richtung ergibt \(g(x)=f(x)-1=x^3+2x^2+1\).

    Verschiebung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades um -1 in y-Richtung

    Streckung der Funktion \(f(x)=x^3+2x^2\) um \(2\) in \(y\)-Richtung ergibt 
    \(g(x)=2\cdot f(x)=2x^3+4x^2\).

    Streckung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades um 2 in y-Richtung

    Verschiebung der Funktion \(f(x)=x^4+x\) um \(-1\) in \(x\)-Richtung ergibt \(g(x)=f(x+1)=(x+1)^4+x+1\).

    Verschiebung des Graphen um -1 in die x-Richtung

    Stauchung und Spiegelung der Funktion \(f(x)=x^5+x^2\) um \(-\frac{1}{3}\) in \(y\)-Richtung ergibt \(g(x)=-\frac{1}{3}\cdot f(x)=-\frac{1}{3} x^5-\frac{1}{3} x^2\).
     

    Stauchung und Spiegelung einer ganzrationalen Funktion fünften Grades