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Analysis einfach erklärt

Was ist die Analysis in der Mathematik?

Der Oberbegriff Analysis nicht eindeutig definiert, da sich das Thema in viele Teilgebiete verzweigt und weitere Gebiete auf den Theorien aufbauen. Dennoch gilt als allgemein anerkannte Analysisdefinition folgende Zusammenfassung: Die Analysis untersucht Funktionen auf ihre Grenzwerte, ob sie stetig, differenzierbar und/oder integrierbar sind. Wichtige Begriffe sind Funktionen, Reihen und Folgen.

Die Grundlagen wurden unter anderem von Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac Newton und Leonhard Euler entwickelt.

 

Was heißt Analysis?

 

Das Wort Analysis stammt aus dem Altgriechischen und wird mit „auflösen“ übersetzt. Es steht auch synonym für „zerteilen“, „in Einzelteile zerlegen“ und „untersuchen“.

Hier findest du alles zum Thema Analysis.

 

Was sind die Grundlagen der Analysis?

Die Analysis baut auf der Menge der reellen Zahlen (\(\mathbb{R}\)) und der komplexen Zahlen (\(\mathbb{C}\)) sowie deren geometrischen, arithmetischen, algebraischen und topologischen Eigenschaften auf. Auf dieser Grundlage untersucht man Funktionen und deren Graphen. In diesem Zusammenhang muss man Gleichungen und Ungleichungen lösen sowie mit Wurzeln und Exponenten (Hochzahl, z. B. \(a^x\)) rechnen.

 

In der Analysis befasst man sich mit unterschiedlichen Funktionen und Graphen in der sogenannten Kurvendiskussion, bei der die geometrischen Eigenschaften wie Schnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden. Eine wichtige Rolle spielen die sogenannten Ableitungen.

Einige Beispiele für Funktionen sind lineare Funktionen, quadratische Funktionen und Exponentialfunktionen. Weitere Funktionen sind die Potenzfunktion, die Polynomfunktion und die logarithmische Funktion. Die „einfachste“ Funktion im Bereich der Analysis sind die lineare Zuordnung und der Dreisatz.

Was sind die wichtigsten Unterthemen der Analysis?

Die wichtigsten Teilgebiete der Analysis sind Differenzialrechnung und Integralrechnung, die als Infinitesimalrechnung zusammengefasst werden. Bei der Differenzialrechnung werden die Veränderungen von Funktionen (insbesondere einzelner Werte) mithilfe der Ableitungsfunktion untersucht. Die Ableitung gibt die Steigung einer Funktion \(f\) an einer Stelle \(x\) an. Bei der Integralrechnung befasst man sich mit Flächen und Volumen zwischen dem Graphen einer Funktion und den jeweiligen \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Achsen. Man spricht hier von der Integration.

 

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung – auch Fundamentalsatz der Analysis genannt – bringt die beiden Teilgebiete in Verbindung. Genauer sind die Ableitung und das Integral invers (umgekehrt). Einfach erklärt sagt der Hauptsatz aus, dass man über das Integral die Veränderungen an jeder Stelle einer Funktion bestimmen kann, wenn die Ableitung jeweils bekannt ist.

Wozu braucht man die Analysis im Alltag?

Die Analysis zu lernen und zu verstehen ist eine zwingende Voraussetzung, um in technischen Berufen wie im Ingenieurwesen, im Maschinenbau oder in der Materialtechnik zu arbeiten. Mithilfe der Differenzial- und Integralrechnung lassen sich Flächen und Volumen berechnen, um beispielsweise die optimale Verpackungsgröße zu ermitteln und Materialkosten zu sparen. Im Maschinenbau benötigt man die Integralrechnung z. B. zur Berechnung von Beschleunigungen, Trägheitsmomenten und der örtlichen Wärmeausdehnung.

 

Ferner stellen Banken, Versicherungen, Luft- und Raumfahrtunternehmen, Fahrzeugbauer und Unternehmensberatungen Personen mit mathematischem Fachwissen ein – beispielsweise für die Risikobewertung von Finanzmärkten, die Problemlösung im Bereich der Raumfahrttechnik und zur Wirtschaftsprüfung. Verkehrs- und Flächenplanung im Straßen- und Wohnungsbau oder gar die Berechnung der Auswirkungen eines Unfalls auf ein Auto erfordern Fachkenntnisse aus dem Bereich der Analysis. Solltest du in einem dieser Bereiche deine berufliche Karriere sehen, dann kannst du mit unseren Erklärvideos, Übungen und Klassenarbeiten Analysis ganz einfach online lernen.