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Trigonometrie einfach erklärt

Klassenstufe:

Was ist Trigonometrie?

Das Wort Trigonometrie setzt sich aus den beiden griechischen Wörtern trigon (Dreieck) und metrie (es wird etwas gemessen) zusammen. Die Ursprünge der ebenen Trigonometrie liegen vermutlich in der antiken Landvermessung. Dabei wurden Seiten und Winkel von Dreiecken gemessen und damit die nicht messbaren Größen berechnet.

Die Trigonometrie liefert Methoden, um fehlende Seitenlängen und Winkelgrößen von Dreiecken zu berechnen, wenn drei dieser Größen gegeben sind. Hier findest du viele Erklärungen und Übungen mit denen Du die wichtigen Themen in der Trigonometrie lernen kannst. Wenn du dich in dem Thema fit genug fühlst, kannst du dein Wissen in Klassenarbeiten zum Thema Trigonometrie testen.

Was sind Sinus, Kosinus und Tangens?

Schon die Babylonier, Ägypter und Chinesen haben Zusammenhänge zwischen den Seiten und Winkeln in Dreiecken erkannt und verwendet. Man hat bemerkt, dass die Quotienten zweier Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck konstant bleiben, sofern diese Dreiecke ähnlich sind. Diese Seitenverhältnisse hängen also nicht von den Längen der Seiten, sondern letztendlich nur von den Winkeln ab.

Diese Erkenntnis hat zur Definition der sogenannten Winkelfunktionen geführt. Die wichtigsten Seitenverhältnisse wurden mit Sinus, Kosinus und Tangens bezeichnet. Als Funktion geschrieben und auf Taschenrechnern werden sie mit \(sin\), \(cos\) und \(tan\) abgekürzt. Mit diesen Winkelfunktionen kann man in rechtwinkligen Dreiecken aus zwei gegebenen Größen (Winkelgrößen, Seitenlängen) alle fehlenden Größen berechnen.

Schon der Satz des Pythagoras, der Höhensatz und der Kathetensatz bieten die Möglichkeit, fehlende Strecken in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen. Mithilfe der Trigonometrie ist es nun auch möglich, aus zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Innenwinkel im Dreieck zu bestimmen. Dabei werden die Umkehrfunktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens verwendet. Auf Taschenrechnern werden diese mit \(sin^{-1}\)\(cos^{-1}\) und \(tan^{-1}\) bezeichnet.

In der Trigonometrie wirst du viel mit dem Taschenrechner arbeiten können, um die fehlenden Größen zu bestimmen.

Was ist der Einheitskreis?

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1 LE (Längeneinheit), dessen Mittelpunkt auf dem Ursprung eines Koordinatensystems liegt. Das Besondere daran ist, dass du den Wert für den Kosinus an der x-Achse und den Sinus an der y-Achse ganz einfach ablesen kannst, wenn du die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als den Radius im Einheitskreis einsetzt.
Mithilfe des Einheitskreises werden die Definitionen der Winkelfunktionen auf Winkel über 90° und auch für negative Winkel erweitert, wenn du neben dem ersten Quadranten im Koordinatensystem auch die anderen drei Quadranten nutzt.

Einheitskreis mit Dreieck im erten udn vierten Quadrant

Welche Dreiecke kann man mithilfe der Trigonometrie berechnen?

Da die Winkelfunktionen an rechtwinkligen Dreiecken definiert sind, kann man diese natürlich auch damit berechnen. Dabei ist es besonders wichtig, dass du weißt, wo Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete im Bezug zu einem Winkel sind.

Beliebige Dreiecke kann man immer in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Diese Zerlegung und die Erweiterung der Winkelfunktionen auf beliebig große Winkel führen dann zu dem Sinussatz, dem Kosinussatz und dem Tangenssatz.
Damit erhält man die Möglichkeit, die fehlenden Größen eines beliebigen Dreiecks zu berechnen, wenn drei Größen des Dreiecks bekannt sind. Dabei muss allerdings mindestens eine Seitenlänge gegeben sein. Mit den Winkelfunktionen kannst du auch räumliche Dreiecke berechnen, solange sie in einer Ebene liegen.

In der Schule wird nur die ebene Trigonometrie betrachtet, man kann aber zum Beispiel auch Dreiecke auf einer Kugeloberfläche mit den Winkelfunktionen berechnen (sphärische Trigonometrie).

Welche Anwendungen der Trigonometrie gibt es?

Wie so viele Bereiche der Mathematik wirst du die Trigonometrie im täglichen Leben nicht bewusst wahrnehmen, aber sie wird in viele Bereichen angewendet:

  • bei der Landvermessung zur Bestimmung von unzugänglichen Strecken oder Winkeln,
  • bei der Höhenmessung von Gebäuden oder Bergen,
  • bei der Navigation von Schiffen und Flugzeugen,
  • in der Architektur und der Statik zur Berechnung von Kräften,
  • bei der Modellierung periodischer Vorgänge (wie Tageslängen, Sonnenstand oder Ebbe und Flut),
  • in der Astronomie zur Beschreibung vom Umlaufbahnen von Planeten,
  • in der Musik/Physik bei der Beschreibung von Tönen,
  • in der Elektrotechnik zur Modellierung von Schwingungen,
  • in der Computergrafik zur Berechnung von Projektionen auf dem Bildschirm.