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Transzendente Gleichungen einfach erklärt

Klassenstufe:

Was sind transzendente Gleichungen?

Hinter diesem eigenartigen Begriff verbergen alle sich Gleichungen, die transzendente Funktionen enthalten. Als transzendent werden verschiedene Funktionen bezeichnet, die weder Polynom- noch Wurzelfunktionen sind. Zu den transzendenten Gleichungen zählen beispielsweise:

  • Bruchgleichungen
  • Exponentialgleichungen
  • Logarithmengleichungen

Der Begriff der transzendenten Gleichung wird in der Schule zwar nicht sehr häufig verwendet, fasst aber eine Menge unterschiedlicher Gleichungstypen zusammen. Du wirst vielen davon im Unterricht begegnen.

Wenn du etwas über transzendente Gleichungen lernen möchtest, kannst du dir hier passende Lernwege dazu anschauen. Wenn du bereits genügend Übung mit transzendenten Gleichungen hast, kannst du dich auch mithilfe unserer Klassenarbeiten auf die nächste Prüfung vorbereiten.

Transzendente Gleichungen – die beliebtesten Themen

Welche Arten transzendenter Gleichungen gibt es?

Es gibt viele unterschiedliche Arten von transzendenten Gleichungen. Die meisten Gleichungen, die sich nicht auf Polynome zurückführen lassen, sind transzendent. In der Schule werden dir einige sehr wichtige begegnen:

  • Bruchgleichungen enthalten mindestens eine Variable im Nenner. Ein Beispiel ist: \(\frac{13}{1-x}=9\).
  • Exponentialgleichungen enthalten mindestens eine Variable als Exponenten. Denke zum Beispiel an die Gleichung \(3^{2x+4}=17\).
  • Logarithmengleichungen enthalten Variablen innerhalb von Logarithmen. \(\log_5 (x)=22\) ist ein Beispiel dafür.
  • Trigonometrische Gleichungen enthalten ihre Variablen auch in trigonometrischen Funktionen. Eine Gleichung mit Kosinus kann hier als Beispiel dienen: \(\cos(x)=3\).

Neben den obigen Gleichungstypen gibt es in der Mathematik noch viele weitere. Dazu gehören beispielsweise noch die Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus. Andere werden dir im Schulunterricht aber kaum über den Weg laufen.

Solltest du dich allerdings später für ein naturwissenschaftliches oder sogar mathematisches Studium entscheiden, werden dir mit Sicherheit weitere transzendente Gleichungen begegnen.

Worin unterscheiden sich transzendente von algebraischen Gleichungen?

Sobald eine transzendente Funktion in einer Gleichung auftaucht, ist diese Gleichung auch transzendent. Alle anderen Gleichungen werden als algebraische Gleichungen bezeichnet. Sie enthalten nur algebraische Funktionen. Aber worin unterscheiden sich transzendente Funktionen von algebraischen Funktionen?

Mathematisch gesehen ist eine transzendente Funktion eine Funktion, die für kein Polynom eine Nullstelle bildet. Das heißt, dass du beispielsweise niemals ein Polynom \(P(X)\) finden kannst, in das du \(\cos(2x)\) als Argument einsetzen kannst, sodass am Ende \(0\) herauskommt. Bei einer ganzrationalen Funktion funktioniert das hingegen immer.

Transzendent leitet sich übrigens von trans-cedere ab. Das ist Latein und bedeutet so viel wie „die Grenze überschreiten“. Da sie, beispielsweise im Gegensatz zu Gleichungen mit Polynomen, nicht mehr algebraisch sind, haben sie sozusagen die Grenze der algebraischen Gleichungen überschritten.

Nicht zu den transzendenten Gleichungen gehören übrigens lineare oder quadratische Gleichungen. Diese enthalten schließlich ausschließlich Polynome. Außerdem sind auch Potenz- und Wurzelgleichungen nicht transzendent. Alle Gleichungen, die nicht zu den transzendenten Gleichungen gehören, werden als algebraische Gleichungen bezeichnet.

Wozu braucht man transzendente Gleichungen?

Da es sehr unterschiedliche Arten von transzendenten Gleichungen gibt, tauchen sie auch in sehr unterschiedlichen Bereichen auf. In der Mathematik begegnen dir transzendente Gleichungen immer dann, wenn du eine entsprechende Funktion verwendest. So wirst du immer, wenn du mit einer Variablen im Nenner oder einem Logarithmus in einer Gleichung arbeitest, auch eine transzendente Gleichung haben.

In verschiedenen Wissenschaften wie den Naturwissenschaften, aber auch der Wirtschaftswissenschaft wird viel mit Wachstumsmodellen gearbeitet. Allgemeine Beispiele dafür sind das Wachstum von Populationen oder von Kapital. Diese beschreibt man mit Exponentialfunktionen, die transzendent sind.