Direkt zum Inhalt

Differentialrechnung einfach erklärt

Was ist die Differenzialrechnung?

Die Differenzialrechnung untersucht lokale Änderungen von Funktionen. Der Grundbaustein der Differenzialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. Sie begegnet dir im Mathematikunterricht vor allem bei der Kurvendiskussion und bildet zusammen mit der Integralrechnung die sogenannte Infinitesimalrechnung.

Du suchst nach einer verständlichen Erklärung für Differenzialrechnung und Ableitung? Mit diesen Themen findest du online alles, was du zur Differenzialrechnung wissen musst! Unsere Klassenarbeiten zur Differenzialrechnung helfen dir außerdem bei der Prüfungsvorbereitung.

Was ist der Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differenzialquotient?

Die Begriffe Differenzenquotient und Differenzialquotient, auch Ableitung genannt, sind zwei eng verwandte Konzepte:

  • Der Differenzenquotient zu einer Funktion und zwei beliebigen Punkten auf ihrem Graphen gibt dir die Steigung der Geraden, die durch diese beiden Punkte läuft. Das ist die Sekantensteigung.
  • Die Ableitung einer Funktion ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, in dem die beiden Punkte ganz nahe zusammengeschoben werden. Dadurch wird aus der Sekantensteigung eine Tangentensteigung. Die Ableitung verrät dir also immer die Steigung einer Funktion an einem gewissen Punkt.

Welche Grundkenntnisse braucht man für die Differenzialrechnung?

Um diese beiden Definitionen wirklich zu verstehen, musst du dich mit diesen Themen auskennen:

  • Eine Sekante schneidet eine Funktion immer an zwei verschiedenen Punkten. Deshalb ist der Differenzenquotient auch von zwei Punkten auf der gegebenen Funktion abhängig.
  • Eine Tangente berührt eine Funktion dagegen nur in einem Punkt. Ihre Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.
  • Da die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert ist, musst du dich auch mit dem Bilden von Grenzwerten gut auskennen. Zwar gibt es Ableitungsregeln, die es dir oft ersparen, beim Ableiten einen Grenzwert auszurechnen. Wenn es aber zum Beispiel um die Differenzierbarkeit einer Funktion geht, musst du auf die Definition mit dem Grenzwert zurückgreifen. Denn eine Funktion ist an einer Stelle nur differenzierbar, wenn sowohl der rechtsseitige als auch der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existieren und diese beiden Werte übereinstimmen.

Wozu braucht man die Differenzialrechnung?

In Mathe kommt die Differenzialrechnung vor allem bei der Kurvendiskussion in der Analysis vor. Dort hilft sie dir, die Extrem- und Wendepunkte zu bestimmen und das Monotonie- bzw. Krümmungsverhalten zu untersuchen. Später benötigst du die Differenzialrechnung auch für die sogenannten Differenzialgleichungen. Das sind Gleichungen, die Ableitungen von Variablen enthalten. Solche Differenzialgleichungen begegnen dir in Mathe zum Beispiel beim exponentiellen Wachstum.

Gerade die Berechnung von Extremstellen findet eine breite Anwendung in vielen Bereichen. Damit kann man in Wissenschaft, Industrie und auch im Finanzwesen Optimierungen vornehmen. Was ist die optimale Stückzahl bei einer Produktion? Wie muss ich mein Material zuschneiden, um eine möglichst große Fläche zu erhalten? Wie können mehrere Standorte durch einen neuen Bahnhof so miteinander verbunden werden, dass der Weg zum neuen Bahnhof für alle möglichst kurz ist? Alle diese Fragen lassen sich mit der Differenzialrechnung lösen.