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Satzgruppe des Pythagoras einfach erklärt

Klassenstufe:

Was ist die Satzgruppe des Pythagoras?

Bestimmt hast du schon mal von ihnen gehört, aber was sind die Satzgruppen des Pythagoras eigentlich? Und welche Formeln gehören dazu? Bei uns erhältst du alle Antworten.

Die Satzgruppe des Pythagoras fasst diese drei mathematischen Gesetze für rechtwinklige Dreiecke zusammen:

  • Satz des Pythagoras
  • Kathetensatz des Euklid
  • Höhensatz des Euklid

Hier findest du unsere Zusammenfassung und wichtigsten Lernwege zu der Satzgruppe des Pythagoras. Mit unseren Klassenarbeiten zur Satzgruppe des Pythagoras kannst du außerdem dein Wissen bestens testen!

    Wer war Pythagoras?

    Pythagoras war vielleicht der Mensch, der unser Denken am stärksten geprägt hat. Sein Einfluss auf die Mathematik und Philosophie ist von enormem Ausmaß. Er lebte wahrscheinlich im sechsten Jahrhundert v. Chr. in Griechenland und Italien.

    Pythagoras besuchte möglicherweise Ägypten und Mesopotamien, wo er vermutlich einiges über die Mathematik lernte, was später seinen Erkenntnissen diente. Er war keineswegs reiner Wissenschaftler im modernen Sinn. So umgab ihn schon zu Lebzeiten ein gewisser Mystizismus. Er beschrieb sich selbst als halbgöttlich und er lehrte seine eigene Religion, die sich hauptsächlich mit der Wanderung von Seelen befasste.

    Zu seinen einflussreichsten Ideen gehörte es, die Kontemplation (also das Nachsinnen über und das Versinken in einem Thema) als etwas Intellektuelles zu verstehen, das – auf die Mathematik gerichtet – den Weg zu Wahrheit und Weisheit versprach. Dieses Ideal führte zur reinen Mathematik, die ihren Wert von nun an unabhängig von ihrer Anwendung in der wirklichen Welt besaß. Auch das mathematische Vorgehen, das bei selbstverständlichen Annahmen beginnt und durch Deduktion, also durch logische Schlussfolgerungen, zu nicht trivialen Ergebnissen kommt, beginnt mit Pythagoras.   

    Wie erklärt man die Satzgruppe des Pythagoras anschaulich?

    Die drei mathematischen Sätze der Gruppe beschreiben den Zusammenhang bestimmter Längen im rechtwinkligen Dreieck. Anschaulich lassen sie sich begreifen, indem man die einzelnen Terme als Flächen am Dreieck darstellt.

     

    Der Satz des Pythagoras

    Der berühmte Satz des Pythagoras besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse \(c\) gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten (\(a\) und \(b\)) ist:

    \(a^2 + b^2 =c^2\)

    Die drei einzelnen Terme kannst du dir als drei quadratische Flächen vorstellen, die genau passend an den drei Seiten des Dreiecks anliegen.

    Der Kathetensatz und der Höhensatz des Euklid

    Ebenso kann man den Kathetensatz und auch den Höhensatz des Euklids grafisch darstellen. 

    Der Kathetensatz zeigt, dass die Quadratflächen an den Katheten jeweils der Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen der Hypotenuse \(c\) und \(p\) bzw. \(q\) entsprechen:

    \(a^2 = p \cdot c\)

    \(b^2 = q \cdot c\)

    Der Höhensatz stellt fest, dass die Quadratfläche an der Höhe \(h\) gleich der Fläche des Rechtecks ist, das aus den Längen \(p\) und \(q\) gebildet wird:

    \(h^2 = p\cdot q\)

    Satzgruppe des Pythagoras mit Kathetensatz

    Alle diese drei Sätze lassen sich auf algebraischem und geometrischem Wege herleiten.

    Wozu braucht man die Satzgruppe des Pythagoras?

    Die Satzgruppe des Pythagoras ist unerlässlich für die Geometrie. Im Laufe deiner Schullaufbahn wirst du feststellen, dass du diese drei Sätze immer wieder verwenden wirst, um geometrische Aufgaben zu lösen.

    Benutzt werden die drei Sätze zum Beispiel immer dann, wenn es darum geht, einen rechten Winkel zu konstruieren oder auch eine Diagonale zu berechnen. So kannst du zum Beispiel beim Kauf eines neuen Fernsehers von der Bildschirmdiagonalen und dem Seitenverhältnis auf die Seitenlängen des Fernsehers kommen.

    Auch zur Entfernungs- und Höhenmessung wurden die Sätze aus dieser Satzgruppe verwendet. In der Physik tauchen die Sätze immer wieder auf, zum Beispiel bei der Vektorrechnung mit Kräften aus der Mechanik.