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Kombinatorik einfach erklärt

Was ist Kombinatorik?

Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Stochastik, bei dem es vor allem um das systematische Abzählen von Möglichkeiten geht. Wenn du zum Beispiel die Kombination für das Zahlenschloss an deinem Fahrrad vergessen hast, solltest du dir zuerst überlegen, wie viele Möglichkeiten es für den richtigen Code gibt. So kannst du entscheiden, ob es sinnvoll ist, alle möglichen Kombinationen auszuprobieren – oder ob es einfach zu lange dauern würde.

Zur Einführung in die Kombinatorik findest du hier die wichtigsten Unterthemen, darunter auch das Urnenmodell. Falls du schon für den nächsten Mathetest üben möchtest, kannst du dich an unseren Klassenarbeiten mit Musterlösungen zur Kombinatorik versuchen.

Welche Arten der Kombinatorik gibt es?

Kombinationen gibt es ja außerordentlich viele. Hier erklären wir dir die wichtigsten.

Das Urnenmodell

Bei einer Übersicht zur Kombinatorik darf das Urnenmodell nicht fehlen. Das hat man sich ausgedacht, um alle unterschiedlichen Situationen zur Kombinatorik abzudecken. In diesem Modell gibt es eine große Urne, aus der Kugeln gezogen werden. Die Kugeln haben dabei ein bestimmtes Merkmal, beispielsweise können auf ihnen Zahlen stehen oder sie können eine bestimmte Farbe haben.

Zur Berechnung der verschiedenen Möglichkeiten gibt es eine wichtige Formel: die Zählregel der Kombinatorik. Falls du weitere Informationen dazu brauchst, kannst du bei unserem Lernweg zum Urnenmodell und der Zählregel für die Kombinatorik vorbeischauen.

Die vier Arten des Urnenmodells

Es gibt vier verschiedene Arten für das Urnenmodell. Der Unterschied besteht darin, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln eine Rolle spielt und ob man die Kugel jeweils nach dem Ziehen wieder zurücklegt oder nicht.

Ziehen mit und ohne Reihenfolge

Wenn es von Bedeutung ist, welche Zahl an welcher Stelle gezogen wird, dann wird die Reihenfolge beachtet. Bei deinem Fahrradschloss kommt es beispielsweise nicht nur darauf an, die Zahlen der richtigen Kombination zu kennen, du musst sie auch in der richtigen Reihenfolge angeben.

Wenn man die Reihenfolge beachtet, gibt es mehr Möglichkeiten als beim Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge. Das liegt daran, dass jede Kombination von gezogenen Zahlen hier mehrmals vorkommt: die gleichen Zahlen in anderer Reihenfolge.

Das Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge (und ohne Zurücklegen) bezeichnet man auch als Ziehen mit einem Griff. Denn zwei Kugeln, die mit einem Griff gezogen werden, haben offensichtlich keine Reihenfolge und überdies ist es dabei nicht möglich, zweimal dieselbe Kugel zu ziehen. Das bekannteste Beispiel für diese Art des Ziehens ist das Lottospiel. Hier kommt es darauf an, vor der Ziehung genau die sechs Zahlen anzukreuzen, die aus insgesamt 49 Zahlen gezogen werden. Mehr zu dieser Art des Ziehens lernst du bei den Kombinationen für das Ziehen mit einem Griff.

Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Das Urnenmodell mit Zurücklegen bedeutet, dass jede gezogene Kugel vor dem nächsten Zug wieder zurück in die Urne gelegt wird und damit auch für den folgenden Zug zur Verfügung steht. Bei jedem einzelnen Zug wird also aus der gleichen Auswahl wie am Anfang gezogen. Dadurch gibt es für das Ziehen mit Zurücklegen mehr Möglichkeiten als für das Ziehen ohne Zurücklegen.

Insgesamt kann das Urnenmodell also vier verschiedene Formen annehmen:

  • Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
  • Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
  • Ziehen ohne Reihenfolge und mit Zurücklegen
  • Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Wozu braucht man Kombinatorik?

Wie du jetzt weißt, geht es bei der Kombinatorik darum, die Anzahl der Möglichkeiten geschickt zu bestimmen. Das kann zum Beispiel bei dem Zahlenschloss an deinem Fahrrad, einem Tresor, dem PIN-Code an deinem Handy, Passwörtern oder beim Lotto von Bedeutung sein.

Das Nützliche an der Kombinatorik ist, dass man von der Anzahl der Möglichkeiten zu den Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse kommt – wie zum Beispiel sechs richtige Zahlen im Lotto zu tippen. Damit ist die Kombinatorik eine der Grundlagen für die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten.

So findet die Kombinatorik in vielen Arbeitsbereichen, wie der Informatik, der Unternehmensberatung, der Statistik oder auch der Medizin, ihre Anwendung.