Was du wissen musst
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Wie klammert man Summen aus?
Um eine Summe auszuklammern, musst du zuerst einen gemeinsamen Teiler finden. Eine mögliche Summe zum Faktorisieren ist:
\(6x+12x^2\)
Nun überlegst du dir, was alle Summanden gemeinsam haben, also was durch einen gemeinsamen Teiler geteilt werden könnte. Diesen gemeinsamen Teiler schreibst du vor eine Klammer. Die einzelnen Summanden teilst du durch den gemeinsamen Teiler und schreibst die Ergebnisse in die Klammer.
Bei unserem Beispiel fällt dir sicherlich sofort auf, dass sowohl \(6\) als auch \(12\) durch \(6\) teilbar ist. Beide sind auch durch \(3\) und \(2\) teilbar, aber wir suchen hier den größten gemeinsamen Teiler. Deshalb schreiben wir eine \(6\) vor die Klammer und teilen jeden Summanden durch \(6\):
\(6(1x+2x^2)\)
Vielleicht ist dir schon aufgefallen, dass diese Aufgabe noch weiter ausgeklammert werden kann. Denn beide Summanden können auch durch \(x\) geteilt werden. Deshalb schreiben wir auch das \(x\) vor die Klammer und teilen die Summanden durch \(x\):
\(6x(1+2x)\)
Weil es keinen weiteren gemeinsamen Teiler der beiden Summanden gibt, bist du nun fertig mit dem Faktorisieren. Wenn du dir nicht sicher bist, ob du richtig gerechnet hast, dann kannst du dein Ergebnis wieder ausmultiplizieren. Hast du richtig gerechnet, dann ergibt das deine ursprüngliche Summe.
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Welche Zahlen klammert man wie aus?
Grundsätzlich kannst du alle möglichen Zahlen ausklammern, wenn deine Summe das hergibt. Auch negative Zahlen können ausgeklammert werden, wenn du korrekt mit dem Vorzeichen umgehst. Wenn alle Zahlen in deiner Summe negativ sind, dann ist dein gemeinsamer Teiler auch negativ. Wenn nicht alle Zahlen in deiner Summe negativ sind, dann achte darauf, das Vorzeichen bei den richtigen Summanden negativ zu lassen.
Auch Summen mit Brüchen kannst du ganz einfach faktorisieren. Du gehst auch hier ganz normal vor, also genauso wie sonst. Das Gleiche gilt für Variablen. Wenn du also zum Beispiel \(x\) ausklammern möchtest, dann stell sicher, dass die Variable in allen Summen vorkommt, und überleg dir, welchen Exponenten dein \(x\) als Faktor vor der Klammer benötigt.
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Wie klammert man bei Wurzeln aus?
Auch das Faktorisieren einer Summe unter einer Wurzel ist nicht schwer. Eine mögliche Aufgabe zum Ausklammern kann wie die folgende aussehen:
\(\sqrt{x^5+x^2}\)
Du betrachtest zunächst nur den Term unter der Wurzel und überlegst dir, wie du ihn ausklammern könntest.
\(\sqrt{x^2\cdot(x^3+1)}\)
Dann schreibst du den Faktor und die Summe getrennt voneinander unter einzelne Wurzeln.
\(\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x^3+1}\)
Dann kannst du noch kontrollieren, ob du die Wurzel aus einem der Ausdrücke ziehen kannst, und erhältst das Ergebnis:
\(|x|\cdot\sqrt{x^3+1}\)
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Wie klammert man bei quadratischen Funktionen aus?
Um die Nullstellen von quadratischen Funktionen zu finden, kannst du sie ausklammern. Eine mögliche Funktion zweiten Grades ist:
\(f(x)=6x^2+3x\)
Um die Nullstellen zu finden, musst du sie zuerst gleich \(0\) setzen:
\(0=6x^2+3x\)
Nun kannst du mit dem Faktorisieren beginnen und \(x\) ausklammern:
\(0=x(6x+3)\)
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass das Produkt immer \(0\) ist, wenn mindestens einer der Faktoren \(0\) ist. Das bedeutet, die erste Nullstelle haben wir gefunden, denn \(0\) mal die Summe in der Klammer ergibt \(0\):
\(x_1=0\)
Nun müssen wir nur noch den Ausdruck in der Klammer gleich \(0\) setzen und dann umstellen, um die andere Nullstelle zu berechnen. Denn nach dem Satz vom Nullprodukt wird der gesamte Term \(0\), wenn die Summe in der Klammer \(0\) wird. Somit liegt die zweite Nullstelle bei:
\(x_2=-\frac{1}{2}\)
Bei einer Funktion zweiten Grades kannst du die Nullstellen auch mittels pq-Formel finden. Aber wenn der Grad deiner Funktion höher wird, wirst du merken, dass das Ausklammern sehr hilfreich ist, um alle Nullstellen zu finden.