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Wahrscheinlichkeitsverteilungen einfach erklärt

Was sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in Mathe ordnet jedem Ausgang \(X\) eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit \(P(X)\) zu.

\(X \rightarrow P(X)\)

Man nennt \(X\) eine Zufallsgröße. Jeder Wert dieser Zufallsgröße \(X\) steht für einen bestimmten Ausgang des Zufallsexperiments; und \(P(X)\) verrät dir, wie wahrscheinlich es ist, dass dieser Ausgang des Experimentes eintrifft.

Alle wichtigen Definitionen und Erklärungen zur Wahrscheinlichkeitsverteilung findest du hier. Falls du schon sicher im Umgang mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen bist, dann teste dein Wissen mit unseren Klassenarbeiten!

Welche Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es?

Bei Zufallsexperimenten folgt die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X)\) einem bestimmten Muster. Diesen speziellen Verteilungen hat man eigene Namen gegeben.

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist der wichtigste Sonderfall, der dir in der Schule begegnet. Diese Verteilung tritt auf, wenn es sich bei dem Zufallsexperiment um eine Bernoulli-Kette handelt: Ein Bernoulli-Experiment wird mehrere Male wiederholt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Experiment gleich ist.

Die Binomialverteilung verrät dir dann, wie wahrscheinlich es ist, bei einer bestimmten Anzahl von Wiederholungen eine bestimmte Anzahl an Erfolgen zu erzielen. Unser Lernweg zur Binomialverteilung bringt dir alles bei, was du dafür wissen musst.

Gaußverteilung oder Normalverteilung

Eine Gauß- oder Normalverteilung tritt auf, wenn ganz viele verschiedene Einflüsse zusammen auf die Zufallsgröße einwirken. Zum Beispiel sind die Körpergrößen einer Bevölkerung oder zufällige Messfehler bei einem Physikexperiment normalverteilt.

Die Gaußverteilung ist besonders wichtig für die Statistik. Sie ist symmetrisch und stetig, d. h., dass die Zufallsvariable nicht nur ganze Zahlen, sondern alle Werte in einem bestimmten Bereich annehmen kann. Der Graph einer Normalverteilung ist eine Gauß-Glocke, deren Maximum über dem Erwartungswert für \(X\) liegt.

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung tritt vor allem dann auf, wenn es um das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen geht. Sie hilft dir dabei, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass eine bestimmte Anzahl von gezogenen Kugeln eines von zwei Merkmalen (z. B. rot/blau oder defekt/nicht defekt) aufweist.

Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung werden meistens durch folgende drei Größen charakterisiert:

  • Der Erwartungswert \(\mathbb{E}(X)\) ist der Wert, den die Zufallsgröße \(X\) im Mittel annimmt. Wenn du das Zufallsexperiment unendlich oft wiederholen würdest, dann ergäbe sich der Mittelwert als Durchschnitt aller Ereignisse.
  • Die Varianz \(\text{Var}(X)\) verrät dir, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung um ihren Erwartungswert verteilt ist. Eine kleine Varianz bedeutet, dass die Verteilung um den Erwartungswert schnell abflacht, während eine große Varianz für eine breite Verteilung um den Erwartungswert spricht. In diesem Sinn ist die Varianz ein Maß für die Streuung der Verteilung.
  • Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Wie die Varianz selbst kann sie als Streuungsmaß dienen. Der Vorteil der Standardabweichung im Vergleich zur Varianz besteht darin, dass sie die gleiche Einheit wie die Zufallsgröße \(X\) hat.

Für alle drei Größen existieren sowohl allgemein gültige Formeln als auch spezielle Formeln für eine bestimmte Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung, wie zum Beispiel die Binomialverteilung.

Natürlich gehört zu jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auch ein Graph. In unserem Lernweg zu den Graphen von Binomialverteilungen lernst du, wie du sie zeichnen kannst.

    Wozu braucht man Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

    In der Schule benutzen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um Aufgaben zu Urnenmodell oder Glücksspielen zu beantworten. Dabei geht es meistens darum, eine Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis auszurechnen.

    Doch auch im echten Leben haben die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ihre Anwendungen. Denn auch hier sind wir von allerhand Zufallsgrößen umgeben. Zum Beispiel folgen unsere Körpergrößen, Einkommen, Schulnoten und auch unsere Intelligenz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

    Ebenso sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Wissenschaft unerlässlich. Bei Experimenten in Physik und Chemie folgen die meisten Messgrößen und ihre Messungenauigkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Auch Wetter- und Klimamodelle nutzen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um das Wetter oder die Folgen des Klimawandels vorhersagen zu können.