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Polynome und Polynomdivision

10. Klasse ‐ Oberstufe Dauer: 65 Minuten

Was sind Polynome und Polynomdivision?

Ein Polynom ist eine Summe von Termen, bei denen es sich jeweils um Vielfache von Variablen mit Potenz handelt. Die allgemeine Form eines Polynoms lautet:

\(a_n\cdot x^n+\dots{}+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x^1+a_0\)

Hierbei ist \(x\) die Variable und \(a_0,\dots,a_n\) sind Konstanten. Als Variable muss aber nicht immer \(x\) verwendet werden. Auch andere Variablen sind möglich. \(a_0,\dots,a_n\) sind reelle Zahlen. Bei den Potenzen handelt es sich um natürliche Zahlen.

Bei der Polynomdivision geht es um die Division dieser Terme. Polynome sind die Funktionsterme von ganzrationalen Funktionen, z. B. linearen oder quadratischen Funktionen. Diese werden häufig auch Polynomfunktionen genannt. 

Wenn du noch etwas zu diesem Thema üben möchtest, kannst du die interaktiven Übungen nutzen und anschließend die Klassenarbeiten bearbeiten.

Was sind Polynome

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Wie du Polynome addierst und subtrahierst

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Polynome addieren und subtrahieren

Polynome addieren und subtrahieren

Polynome addieren und subtrahieren

Wie du die Polynomdivision durchführst

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Polynomdivision durchführen

Polynomdivision durchführen

Polynomdivision durchführen

Wie du Polynome in Faktorschreibweise angibst

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Polynome in Faktorschreibweise angeben

Polynome in Faktorschreibweise angeben

Polynome in Faktorschreibweise angeben

Schlussrunde: Polynome und Polynomdivision

Schlussrunde: Polynome und Polynomdivision

Schlussrunde: Polynome und Polynomdivision

Was du wissen musst

  • Welche Eigenschaften von Polynomen sind wichtig?

    Eine Eigenschaft, die ein Polynom beschreibt, ist der Grad eines Polynoms. Er gibt die höchste vorkommende Potenz an. Der Koeffizient an der Variablen mit der höchsten Potenz wird Leitkoeffizient genannt. Zum Beispiel: 

    Das Polynom \(x^2-3x+5\) hat den Grad \(2\).

    Das Polynom \(22x+x^4+16x^3+7x^7-78\) hat den Grad \(7\).

    Das Polynom \(x-5\) hat den Grad \(1\).

    Eine weitere Eigenschaft von Polynomen ist, dass die Summe von Polynomen wiederum ein Polynom ergibt.

    \((x^3+3x^2-2x+3)+(x^2-5x+1)=x^3+4x^2-7x+4\)

    Auch das Produkt, also wenn du zwei Polynome miteinander multiplizierst, ergibt wiederum ein Polynom.

    \((x-1)\cdot (x+3)=x^2+2x-3\)

  • Wie löst man Aufgaben zu Polynomdivision erfolgreich?

    Um eine Polynomdivison erfolgreich durchzuführen, solltest du dich an die folgenden Schritte halten:

    1. Sortieren: Zuerst schreibst du deine Aufgabe auf und sortierst die Terme deiner Polynome nach ihrem Grad. Der Term mit dem höchsten Grad steht am weitesten links. Denk daran, Klammern um die Polynome zu setzen.

    \((x^3-6x^2-x+6):(x-1)\)

    2. Dividieren: Dann dividierst du die Terme, die jeweils in der Klammer am weitesten links stehen, also den höchsten Grad haben. In diesem Beispiel lautet die Teilaufgabe: 

    \(x^3:x=x^2\)

    Das Ergebnis schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.

    \((x^3-6x^2-x+6):(x-1)=x^2 \dots\)

     

    3. Multiplizieren: Als Nächstes multiplizierst du zurück. Das bedeutet, dass du den Term, der gerade dein Ergebnis der Division war, mit dem hinteren Polynom multiplizierst. In unserem Beispiel lautet die Teilaufgabe: 

    \(x^2\cdot(x-1)=x^3-x^2\)

    Das Ergebnis schreibst du unter das Polynom ganz links. Denk daran, auch hier Klammern zu setzen.

    \((x^3-6x^2-x+6):(x-1)=x^2\dots \\(x^3-x^2)\)

     

    4. Subtrahieren: Nun folgt die Subtraktion. Die nun untereinanderstehenden Terme werden voneinander subtrahiert. Du schreibst also ein Minus in die Rechnung. In diesem Beispiel lautet die Teilaufgabe: 

    \((x^3-6x^2)-(x^3-x^2)=-5x^2\)

    Das Ergebnis wird unter einen Strich geschrieben. 

    \(\;\;\;(x^3-6x^2-x+6):(x-1)=x^2\dots \\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-5x^2\)

     

    5. Herunterziehen: Als Nächstes ziehst du den nächstfolgenden Term aus dem ersten Polynom herunter. In diesem Beispiel handelt es sich um den Term \(-x\). Denk auch hier an die Klammern.

    \(\;\;\;(x^3-6x^2-x+6):(x-1)=x^2\dots\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;(-5x^2-x)\)

     

    6. Wiederholen: Nun wiederholst du die Schritte 2 bis 5 so lange, bis du am letzten Term angekommen bist.

    \(\;\;\;(x^3-6x^2-x+6):(x-1)=x^2-5x-6\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;(-5x^2-x)\\ \;\;\;\;\underline{-(-5x^2+5x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(-6x+6)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x+6)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\)

    Eine Polynomdivision muss nicht immer aufgehen, so wie in diesem Beispiel. Es kann auch passieren, dass ein Rest übrig bleibt. Diesen Rest kannst du einfach als Bruch an dein Ergebnis hinten anhängen. Dafür schreibst du deinen Rest in den Zähler und in den Nenner schreibst du den Divisor deiner ursprünglichen Rechnung. 

  • Wie findet man Nullstellen mithilfe der Polynomdivision?

    Die Polynomdivision wird häufig verwendet, um Nullstellen zu finden. Dazu muss eine Nullstelle gegeben sein oder erraten werden. Häufig handelt es sich um \(2\)\(1\)\(0\)\(-1\) oder \(-2\).

    Du kannst diese Zahlen für \(x\) in die Funktion einsetzen und prüfen, ob für \(y\) das Ergebnis \(0\) herauskommt. Ist das der Fall, hast du eine Nullstelle gefunden und du kannst mit der Polynomdivision beginnen.

    Du teilst deine Funktion durch \(x-x_0\). Liegt deine Nullstelle beispielsweise bei \(x_0=1\), so teilst du deine Funktion durch das Polynom \(x-1\).

    Das Ergebnis dieser Polynomdivision kannst du nun gleich \(0\) setzen, um eine weitere Nullstelle zu berechnen. 

  • Wofür benötigt man die Polynomdivision?

    Die Polynomdivision benötigst du für die Kurvendiskussion, denn zur Berechnung von Nullstellen musst du sie häufig anwenden. Ist eine Nullstelle bekannt, kannst du den Grad der Gleichung durch die Polynomdivision um \(1\) senken. Das ermöglicht es dir, weitere Nullstellen zu finden.

    Wenn du bei einer Kurvendiskussion die Näherungskurve einer rationalen Funktion bestimmen möchtest, kannst du auch auf die Polynomdivision zurückreifen.

    Auch bei der Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen kannst du die Polynomdivision anwenden.