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Binomialverteilung

10. Klasse ‐ Oberstufe Dauer: 75 Minuten

Was ist die Binomialverteilung?

Mit der Binomialverteilung kannst du in der Stochastik die Wahrscheinlichkeiten für mögliche Ausgänge einer Bernoulli-Kette berechnen.

In einer Bernoulli-Kette wird ein Experiment, das entweder „Treffer“ oder „Niete“ zum Ergebnis hat (das sogenannte Bernoulli-Experiment), mehrmals hintereinander durchgeführt. Dabei ändert sich die Einzelwahrscheinlichkeit, bei einem Durchgang einen Treffer zu erhalten, nicht.

Wenn dir das jetzt zu theoretisch war, findest du hier alles, was du zur Binomialverteilung wissen musst, mit anschaulichen Erklärvideos und interaktiven Übungen. Ist das für dich ein alter Hut, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten testen. Dort findest du viele Übungen und Aufgaben mit Lösungen zur Binomialverteilung.

Was ist eine Binomialverteilung?

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Binomialverteilung

Binomialverteilung

Binomialverteilung

Wie du Parameter von Binomialverteilungen bestimmst

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Parameter von Binomialverteilungen bestimmen

Parameter von Binomialverteilungen bestimmen

Parameter von Binomialverteilungen bestimmen

Wie du Wahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse bei einer Binomialverteilung berechnest

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Wie du Wahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse bei einer Binomialverteilung berechnest

Wie du Wahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse bei einer Binomialverteilung berechnest

Wie du Wahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse bei einer Binomialverteilung berechnest

Wie du den Erwartungswert von binomialverteilten Zufallsvariablen bestimmst

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Erwartungswert von binomialverteilten Zufallsvariablen bestimmen

Erwartungswert von binomialverteilten Zufallsvariablen bestimmen

Erwartungswert von binomialverteilten Zufallsvariablen bestimmen

Schlussrunde: Binomialverteilung

Schlussrunde: Binomialverteilung

Schlussrunde: Binomialverteilung

Was du wissen musst

  • Wie berechnet man die Einzelwahrscheinlichkeit?

    Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette eine bestimmte Anzahl an Treffern zu erhalten, kannst du mit folgender Formel für die Binomialverteilung berechnen:  

    \(P(X= k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n\ -\ k}\)

    Die Variablen haben folgende Bedeutungen:

    • \(n\) ist die Anzahl der Wiederholungen des Bernoulli-Experiments;
    • \(k\) ist die Anzahl der Treffer;
    • \(p\) ist die Trefferwahrscheinlichkeit für ein Bernoulli-Experiment;
    • \(\binom{n}{k}\) ist der Binomialkoeffizient, der die verschiedenen Kombinationen der \(k\) Treffer bei \(n\) Versuchen berücksichtigt.

    \(P(X= k)\) ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, bei \(n\) Wiederholungen genau \(k\) Treffer zu erhalten, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Bernoulli-Experiment \(p\) beträgt. Man sagt, dass die Zufallsgröße \(X\) binomialverteilt ist.

  • Welche Eigenschaften hat eine Binomialverteilung?

    Die Binomialverteilung hat drei wichtige Eigenschaften:

    • Es handelt sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das liegt daran, dass für die Anzahl der Erfolge \(k\) nur ganze Zahlen infrage kommen. Denn halbe Erfolge gibt es ja nicht.
    • Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist \(\mathbb E(X) = n\cdot p\).
    • Die Varianz einer Binomialverteilung kannst du als \(\text{Var}(X) = n\cdot p \cdot (1-p)\) berechnen.
  • Was ist der Unterschied zwischen einer Normalverteilung und einer Binomialverteilung?

    Der Hauptunterschied besteht darin, dass die beiden Verteilungen einer anderen Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung angehören.

    • Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.
    • Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Stetig bedeutet hier, dass die Ergebnisse einer Normalverteilung nicht abzählbar sind. 

    Aus diesem Grund unterscheidet sich auch der Graph einer Binomialverteilung deutlich von dem einer Normalverteilung.

    • Die Binomialverteilung wird als Histogramm dargestellt, also mit einem Balken pro ganzzahligem \(X\).
    • Der Graph der Normalverteilung ist dagegen eine durchgehende Kurve, die allen Werten von \(X\) eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

    Ein Beispiel für ein diskretes Zufallsexperiment ist Würfeln. Dabei hast du die abzählbaren Ergebnisse: \(1,2,3,4,5,6\) oder auch Ereignisse wie „einmal \(6\)“. Beim Messen der Körpergröße von Freunden können hingegen beliebige Werte zwischen ungefähr \(1{,}5 \text{ m}\) und \(2 \text{ m}\) auftreten – also auch Werte wie \(1{,}72 \text{ m}\).

    Eine Gemeinsamkeit gibt es aber doch zwischen den beiden Verteilungen: Für große \(n\) geht die Binomialverteilung in die Normalverteilung über.

  • Wozu braucht man die Binomialverteilung?

    Die Binomialverteilung hat viele Anwendungen und Beispiele. Mit ihr kann man beispielsweise die Wahrscheinlichkeiten bei Glücksspielen ausrechnen. Wie wahrscheinlich ist es, viermal eine \(6\) zu erhalten, wenn siebenmal gewürfelt wird? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Roulettespiel fünfmal hintereinander eine rote Zahl gewinnt? All diese Glücksspiele kannst du mithilfe der Binomialverteilung bewerten. Dadurch kannst du auch erkennen, ob ein Spiel fair ist oder nicht.

    Auch bei der Qualitätskontrolle spielt die Binomialverteilung eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man beurteilen, ob die Ergebnisse einer Stichprobe mit der vom Hersteller versprochenen Qualität übereinstimmen oder nicht.