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Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnet dir mit neuen Begriffen wie dem Ereignisbaum oder dem Binomialkoeffizienten. Gerade diese Bezeichnungen bereiten dir Unbehagen, wenn du zum ersten Mal mit Stochastik in Berührung kommst.[toc]

Diese Scheu verlierst du jedoch, sobald du die Begriffe und ihre Verwendung verstehst. Nachfolgend erklären wir dir die wichtigsten Ausdrücke und Instrumente der Wahrscheinlichkeitsrechnung und wie du sie anwendest.

Ereignisbaum in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Der Ereignisbaum heißt auch Baumdiagramm. Einzelne Äste stehen in solch einem Diagramm für die Anzahl der Möglichkeiten die eintreten können.

Wird nach der Wahrscheinlichkeit eines speziellen Ereignisses gefragt, folgst du den einzelnen Pfaden bis zum Ziel. Anschließend berechnest du das Produkt der Wahrscheinlichkeitswerte der Teilstrecken (1. Pfadregel = Produktregel).

Das klassische Beispiel der Stochastik für einen Ereignisbaum ist das Bernoulli-Experiment. Der Wurf einer Münze zählt dazu. Die Münze liefert dir zwei Ergebnisse: Kopf und Zahl.

Grundsätzlich gehst du in der Stochastik davon aus, dass jedes Ereignis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit vorkommt.

Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei Ergebnissen eintritt, 1 zu 2, also ½. Dein Ereignisbaum setzt sich aus zwei Ästen zusammen, die jeweils den Wert ½ aufweisen:

Ereignisbaum_1

Ereignisbaum - (©) Duden Learnattack GmbH

Möchtest du ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit du die Kombination Kopf-Zahl-Zahl erhältst, erweiterst du den Baum. Durch diese mehrstufige Darstellung des Zufallsexperiments fällt es dir leichter, die einzelnen Werte abzulesen und miteinander zu multiplizieren (1. Pfadregel). Das Produkt ist die Wahrscheinlichkeit der gesuchten Kombination.

Für den Münzwurf Kopf-Zahl-Zahl folgst du drei Pfaden, die jeweils den Wert ½ aufweisen. Somit gilt für deine Multiplikation: ½ * ½ * ½ = 1/8 → Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kombination beim Münzwurf eintritt, ist 1 zu 8.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisbaum

Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisbaum - (©) Duden Learnattack GmbH

Willst du zusätzlich berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse Kopf-Zahl-Zahl und Kopf-Zahl-Kopf ist, wendest du die 2. Pfadregel (Summenregel) an. Dabei bildest du aus den beiden Einzelereignissen jeweils das Produkt und addierst die beiden Ergebnisse miteinander: ½ * ½ * ½ + ½ * ½ * ½ = 1/4

Wie du siehst, ist ein Baumdiagramm nützlich, um eine Aufgabe mit Wahrscheinlichkeiten besser zu verstehen und zu lösen. Die Ergebnisbäume verwendest du bei Zufallsexperimenten und fasst alle Ereignisse E in einer Ergebnismenge M (alternativ Ω) zusammen.

Eine ähnliche Variante wendest du an, wenn du Lösungen einer Gleichung in einer Lösungsmenge zusammenfasst. Für das genannte Münzwurfbeispiel sieht die Ergebnismenge M bei einem einfachen, nicht mehrfach hintereinander ausgeführten Zufallsexperiment so aus:

M = {Kopf; Zahl}

Die Anzahl der Ereignisse in der Menge entspricht der Mächtigkeit des Ergebnisraumes. Beim einfachen Münzwurf gibst du die Mächtigkeit 2 an → |M| = 2.

Neben den eigentlichen Ereignissen gibt es die Gegenereignisse. Dies sind Ergebnisse, die eintreten, aber kein Teil der Ergebnismenge sind.

Ein Gegenereignis hast du zum Beispiel, wenn du in deiner Ergebnismenge nur das Ereignis Kopf aufnehmen möchtest. Dann ist Zahl das Gegenereignis, da es bei einem Zufallsexperiment eintritt.

Bei einem sicheren Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit P(E) = 1. Bei Gegenereignissen gilt 1 – P(E). Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0.

Um dir alle Kombinationen von Ereignissen besser vorzustellen, zeichne eine Vierfeldertafel, damit du kein Ereignis vergisst.
Du hast zum Beispiel die Menge M = {1; 2; 3; 4;} gegeben, wobei A = {2} und E = {1;3}.

In die Vierfeldertafel zeichnest du nun alle möglichen Kombinationen der beiden Mengen, wobei du jeweils das Ereignis und das Gegenereignis auflistest, A und „Nicht A“, also Ᾱ, sowie E und „Nicht E“, also Ē.

Tabelle_Wahrscheinlichkeitsrechung

Aus den einzelnen Kombinationen ergeben sich die Schnittmengen der Kombinationen:

E ∩ A = {} → Leere Menge, da A und E keine gemeinsamen Zahlen, also keine Schnittmenge besitzen.
E ∩ Ᾱ = {1; 3}
Ē ∩ A = {2}
Ē ∩ Ᾱ = {4} → Keine Leere Menge, da aus der Ursprungsmenge M die Zahl 4 weder in A noch in E enthalten ist.

Weitere Begriffe der Stochastik

Weitere Begriffe, die dir in der Stochastik begegnen, sind die absolute und die relative Häufigkeit.

Absolute Häufigkeit Hn (E): Anzahl des Eintretens eines Ereignisses E bei n Versuchen

Relative Häufigkeit hn (E): Verhältnis absoluter Häufigkeiten zur Anzahl der Versuchsdurchführungen

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient hilft dir zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten existieren, um k Objekte aus einer Menge n verschiedener Objekte zu entnehmen.

Dabei legst du keine Objekte zurück und die Reihenfolge beachtest du ebenfalls nicht. Klassisches Beispiel für den Binomialkoeffizienten ist das Glücksspiel Lotto „6 aus 49“.

Die allgemeine Formel des Koeffizienten lautet:

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!)}

 

Wenn du die Formel auf das Beispiel Lotto „6 aus 49“ anwendest, erhältst du die Wahrscheinlichkeit, „6 Richtige“ im Lotto zu bekommen:

\left ( \frac{49}{6} \right ) = \frac{49!}{6!\ast (49-6)!} = \frac{49!}{6!\ast 43!} = 13.983.816

 

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, im Lotto „6 Richtige“ zu haben, 1 : 13983816. Angesichts dieser geringen Wahrscheinlichkeit erkennst du wahrscheinlich, warum es Glücksspiel heißt, oder?

Alles verstanden? Dann sieh dir die Übungen von Duden Learnattack an und versuche sie zu lösen!


Über den Autor

Meine Leidenschaft sind die Zahlen. Als Mathe- und Physiklehrer der 8. bis 10. Klasse versuche ich mein Bestes, den Schülern, die Welt der Zahlen näher zu bringen.

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