Gradmaß und Bogenmaß

Bogenmaß

Bogenmaß (einfach)

Aufgabe:

Ergänze die Lücken im Text.

Radiant

Gradmaß

Winkelgrößen

Bogenmaß

Das Bogenmaß brauchst du, um

anzugeben oder Angaben, die im

angegeben sind, umzuwandeln.

Die Einheit für Winkel im

wird in RAD angegeben und heißt

.

Aufgabe:

Wähle die richtige Formel zur Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß.

$\alpha_{RAD}=\pi\,\cdot\,\frac{\alpha^{RAD}}{360^\circ}$
.
$\alpha_{RAD}=2\pi\,\cdot\,\frac{\alpha^\circ}{180^\circ}$
.
$\alpha_{RAD}=\frac{\alpha^\circ}{360^\circ}$
.
$\alpha_{RAD}=2\pi\,\cdot\,\frac{\alpha^\circ}{360^\circ}$
.

Aufgabe:

Ordne dem Gradmaß das richtige Bogenmaß zu und umgekehrt.

$\alpha^\circ$		$180^\circ$	$90^\circ$
$\alpha_{RAD}$	$2\pi$			$\frac{\pi}{4}$

$\pi$

$360^\circ$

$\frac{\pi}{2}$

$45^\circ$

Bogenmaß (mittel)

Aufgabe:

Rechne das jeweilige Gradmaß ins Bogenmaß um.

$\frac{\pi}{18}$

$\frac{\pi}{5}$

$\frac{\pi}{9}$

Gradmaß $\alpha^\circ$	$10^\circ$	$20^\circ$	$36^\circ$
Bogenmaß $\alpha_{RAD}$

Aufgabe:

Der Winkel

$\alpha$ liegt zwischen

$50^\circ$ und

$200^\circ$

$(50^\circ\,\leq\,\alpha\,\leq\,200^\circ)$ . Im Bogenmaß angegeben, liegt der Winkel

$\alpha$ im folgenden Intervall:

$\frac{\pi}{4}\,\leq\,\alpha_{RAD}\,\leq\,\pi$ .

Entscheide, ob diese Aussage wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Rechne das jeweilige Gradmaß ins Bogenmaß um.

Gradmaß $\alpha^\circ$	$151^\circ$	$226{,}6^\circ$	$81{,}9^\circ$
Bogenmaß $\alpha_{RAD}$

$\frac{1133}{900}\pi$

$\frac{151}{180}\pi$

$\frac{91}{200}\pi$

Aufgabe:

Ein Kreisbogen in einem Kreis besitzt einen Winkel, der im Bogenmaß

$\frac{7}{8}\pi$ Radiant misst.

Entscheide, wie groß der Anteil des Kreisbogens am Umfang des Kreises ist.

$\frac{8}{6}$
.
$\frac{7}{16}$
.
$\frac{7}{3}$
.
$\frac{5}{19}$
.

Bogenmaß (schwer)

Aufgabe:

Marie behauptet, dass das Intervall

$[\pi;\,2\pi]$ einen Viertelkreis beschreibt.

Entscheide, ob diese Behauptung wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Rechne das jeweilige Bogenmaß ins Gradmaß um.

Bogenmaß	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{7\pi}{9}$	$\frac{13\pi}{9}$
Gradmaß

$140^\circ$

$120^\circ$

$260^\circ$

Aufgabe:

In einem Kreis ist der Radius durch die Strecke

$\overline{AM}$ mit

$15\,\text{Einheiten}$ gegeben. Der Durchmesser des Kreises ist durch die Strecke

$\overline{AC}$ gegeben.

Gib die Länge des Kreisbogens

$\stackrel\frown{BCA}$ an. Nutze dabei, dass der Radiant eines Vollkreises

$2\pi$ beträgt.

$\frac{87}{44}\pi\,\text{Einheiten}$
.
$\frac{87}{4}\pi\,\text{Einheiten}$
.
$\frac{8}{4}\pi\,\text{Einheiten}$
.
$\frac{14}{78}\pi\,\text{Einheiten}$
.

Wie du von Gradmaß in das Bogenmaß eines Winkels umrechnest

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Schritt-für-Schritt-Anleitung zum VideoZeige im Fenster Drucken

Gradmaß in Bogenmaß umrechnen

Gradmaß in Bogenmaß umrechnen (einfach)

Aufgabe:

Markiere die richtige Umrechnungsformel, um vom Gradmaß ins Bogenmaß zu gelangen.

$\alpha_{RAD}=\frac{\alpha}{180^\circ}\,\cdot\,\pi$
.
$\alpha_{RAD}=\frac{\alpha}{360^\circ}\,\cdot\,\pi$
.
$\alpha=\frac{\alpha_{RAD}}{180^\circ}\,\cdot\,\pi$
.
$\alpha_{RAD}=\frac{\alpha}{180^\circ}\,\cdot\,2\pi$
.

Aufgabe:

Ergänze den Lückentext.

Wenn Winkel im

als

von

$\pi$ angegeben werden sollen, dann kommen meistens einfache

heraus, die du nicht mit dem

bestimmen solltest.

Brüche

Taschenrechner

Vielfaches

Bogenmaß

Aufgabe:

Füge die fehlenden Wörter ein.

Ein Winkel wird im als ein Vielfaches von

$\pi$ angegeben. Dabei ist

$\pi$ im ein Winkel von °.

Gradmaß in Bogenmaß umrechnen (mittel)

Aufgabe:

Rechne das jeweilige Gradmaß ins Bogenmaß um und ordne die Vielfachen von

$\pi$ den richtigen Winkeln zu.

$\frac{7}{10}\pi$

$\frac{\pi}{5}$

$\frac{1}{20}\pi$

$\frac{8}{5}\pi$

$\frac{3}{5}\pi$

Gradmaß $\alpha^\circ$	$36^\circ$	$108^\circ$	$9^\circ$	$288^\circ$	$126^\circ$
Bogenmaß $\alpha_{RAD}$

Aufgabe:

Rechne die Vielfachen von

$\pi$ vom Bogenmaß ins Winkelmaß um und runde die Winkel auf eine Stelle nach dem Komma genau.

$\alpha_{RAD}=\frac{\pi}{8}$	$\alpha=$ °
$\beta_{RAD}=\frac{9}{21}\pi$	$\beta=$ °
$\gamma_{RAD}=\frac{50}{51}\pi$	$\gamma=$ °

Aufgabe:

Eine Uhr zeigt die Uhrzeit wie folgt an:

Vom Minutenzeiger zum Sekundenzeiger ergibt sich ein Winkel, der im Bogenmaß

$\alpha_{RAD}=\frac{13}{10}\pi$ misst.

Entscheide, wie groß der Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger im Gradmaß ist.

$\alpha'=166^\circ$
.
$\alpha'=116^\circ$
.
$\alpha'=136^\circ$
.
$\alpha'=126^\circ$
.

Aufgabe:

Rechne die Winkel von Gradmaß ins Bogenmaß oder vom Bogenmaß in Gradmaß um. Gib dabei ganze Zahlen an.

	$\alpha= \frac{1}{1800}\,\cdot\,$ $\,\cdot\,\pi$
	$\beta=$ °
	$\gamma= \frac{1}{18}\,\cdot\,$ $\,\cdot\,\pi$

Aufgabe:

In einem Kreis ist der Radius durch die Strecke

$\overline{AM}$ mit

$36\,\text{Einheiten}$ gegeben. Der Durchmesser des Kreises ist durch die Strecke

$\overline{AC}$ gegeben.

Gib die Länge des Kreisbogens

$\stackrel\frown{BCA}$ an. Nutze dazu aus, dass der Radiant eines Vollkreises

$2\pi$ beträgt.

$\frac{243}{14}\pi\,\text{Einheiten}$
.
$\frac{342}{7}\pi\,\text{Einheiten}$
.
$\frac{432}{14}\pi\,\text{Einheiten}$
.
$\frac{432}{7}\pi\,\text{Einheiten}$
.

Gradmaß in Bogenmaß umrechnen (schwer)

Aufgabe:

Rechne die Intervalle aus dem Gradmaß ins Bogenmaß oder aus dem Bogenmaß ins Gradmaß um und vervollständige die Lücken.

$\frac{2}{15}\pi$

$\frac{23}{36}\pi$

$96^\circ$

$\frac{2}{3}\pi$

$\frac16\pi$

$76^\circ$

Gradmaß	Bogenmaß
$30^\circ$ $\leq$ $\alpha$ $\leq$ $115^\circ$	$\leq$ $\alpha$ $\leq$
$\bigg[$ ; $120^\circ$ $\bigg]$	$\bigg[\frac{19}{45}\pi$ ; $\bigg]$
$24^\circ$ $\leq$ $\beta$ $\leq$	$\leq$ $\beta$ $\leq$ $\frac{8}{15}\pi$

Aufgabe:

Ein Auto hat einen Scheibenwischer, der eine Länge von

$76\,\text{cm}$ besitzt. Der Scheibenwischer bewegt sich viermal hin und her. Der Winkel des Kreisbogens beträgt dabei

$106^\circ$ .

Berechne den Weg, den die äußerste Spitze des Scheibenwischers zurücklegt. Runde den Wert dabei auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

Der Scheibenwischer legt einen Weg von

$\,\text{cm}$ zurück.

Aufgabe:

Der Minutenzeiger einer Uhr ist

$21\,\text{cm}$ lang.

Lisa behauptet: Der äußerste Punkt des Minutenzeigers dieser Uhr legt in zehn Minuten einen längeren Weg zurück, als der Minutenzeiger lang ist.

Entscheide, ist Lisas Behauptung wahr oder falsch.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Max und Moritz werfen sich einen Ball zu. Der Ball fliegt auf einer Kreisbahn, die

$2{,}14\,\text{m}$ lang ist. Die Kreisbahn, die der Ball beschreibt, hat einen Radius

$r=1{,}3\,\text{m}$ .

Berechne den Winkel, der zu der Kreisbahn gehört, im Grad- sowie im Bogenmaß.

Runde die Werte auf zwei Stellen hinter dem Komma genau.

Winkel im Bogenmaß:

$\pi$

Winkel im Gradmaß: °.

Aufgabe:

Drei Freunde – Mia, Tim und Karl – fahren zusammen Riesenrad.

Das Riesenrad besteht aus acht Gondeln. Tim setzt sich als Erster in eine Gondel. In die nächste setzt sich Mia. Karl kommt später und so bleibt eine Gondel unbesetzt, bevor er einsteigt.

Berechne die Winkel

$\alpha,\,\beta$ und

$\gamma$ zwischen den Gondeln, in denen sich die Freunde befinden, im Grad- sowie im Bogenmaß und fülle die Lücken im Text.

Der grüne Winkel

$\alpha$ , der sich zwischen den Gondeln von Tim und Mia befindet, misst im Gradmaß

. Das entspricht einem Bogenmaß von

.

Der rote Winkel

$\beta$ , der sich zwischen den Gondeln von Mia und Karl befindet, misst im Gradmaß

. Das entspricht einem Bogenmaß von

.

Der blaue Winkel

$\gamma$ , der sich zwischen den Gondeln von Karl und Tim befindet, misst im Gradmaß

. Das entspricht einem Bogenmaß von

.

$\frac54\pi$

$45^\circ$

$\frac12\pi$

$225^\circ$

$\frac14\pi$

$90^\circ$

Aufgabe:

Fred feiert seinen zehnten Geburtstag. Es gibt eine Torte, die einen Durchmesser

$d=22\,\text{cm}$ besitzt und in zwölf Stücke geschnitten wird.

Es kommen fünf Freunde zu Besuch und jeder isst ein Stück – außer Fred, der isst zwei Stücke und sein bester Freund isst drei Stücke Torte.

Berechne die Länge des Kreisbogens, der zu dem Winkel der gegessenen Tortenstücke gehört, und wähle ihn anschließend aus.

$51{,}8\,\text{cm}$
.
$69{,}1\,\text{cm}$
.
$11{,}1\,\text{cm}$
.
$17{,}3\,\text{cm}$
.

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Das Bogenmaß

Bogenmaß

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Wie du von Gradmaß in das Bogenmaß eines Winkels umrechnest