Kosinussatz

Was du wissen musst

• Wie kann man den Kosinussatz im Dreieck darstellen?

  Der Kosinussatz ermöglicht es, eine Seitenlänge in einem Dreieck zu bestimmen. Dafür werden die beiden anderen Seitenlängen und der gegenüberliegende Winkel benötigt.

  Wir betrachten den Kosinussatz zusammen mit der nebenstehenden Skizze. Die Formel des Kosinussatzes lautet:

  \(\color{orange}{c^2} = \color{blue}{a^2} + \color{green}{b^2} -2\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b} \cdot \cos{(\color{orange}{\gamma})}\)

  Da es sich um ein beliebiges Dreieck handelt, ist es egal, welche Seite du als \(\color{blue}{a}\), \(\color{green}{b}\) oder \(\color{orange}{c}\) benutzt. Wichtig ist nur, dass sich \(\color{orange}{c}\) und \(\color{orange}{\gamma}\) gegenüberliegen.

  Wenn du die Bezeichnung des Dreiecks nicht verändern willst, kannst du alternativ auch die Formeln

  \( \color{blue}{a^2} = \color{green}{b^2} + \color{orange}{c^2} -2 \cdot \color{green}{b} \cdot \color{orange}{c} \cdot\cos{(\color{blue}{\alpha})}\) und \( \color{green}{b^2} = \color{blue}{a^2} + \color{orange}{c^2} -2 \cdot \color{blue}{a} \cdot \color{orange}{c} \cdot\cos{(\color{green}{\beta})}\)

  verwenden.

  

  Hinweis: Benutzt du den Kosinussatz in einem rechtwinkligen Dreieck so, dass \(\color{orange}{\gamma} = 90°\) ist, dann wird aus dem Kosinussatz der Satz des Pythagoras, da \(\cos{(\color{orange}{\gamma})} = 0\).

• Was hat der Kosinussatz mit dem Satz des Pythagoras zu tun?

  Unterschiede

  Vielleicht ist dir bereits aufgefallen, dass sich der Kosinussatz (\(c^2=a^2 + b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos{(\gamma)}\)) und der Satz des Pythagoras (\(c^2 =a^2 + b^2\)) ähneln. Es gibt nur zwei Unterschiede:

  1. Unterschied in der Voraussetzung: Während der Kosinussatz zu Berechnungen in allgemeinen Dreiecken verwendet werden kann, darf der Satz des Pythagoras nur in rechtwinkligen Dreiecken benutzt werden.
  2. Unterschied in der Formel: Der Kosinussatz und der Satz des Pythagoras haben ähnliche Formeln. Subtrahiert man die Formel des Satzes des Pythagoras vom Kosinussatz, so erhält man die Bedingung:

  \(\begin{align} c^2 - c^2 &= a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos{(\gamma)}-a^2 + b^2 \\ 0&=- 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos{(\gamma)} \end{align}\)

  Erfüllung der Bedingung

  Da die Längen \(a\) und \(b\) in einem Dreieck nie \(0\) werden können, wird die Gleichung \(0=- 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos{(\gamma)}\) nur erfüllt, wenn \(\cos{(\gamma)} = 0\) gilt. Aus den Betrachtungen des Kosinus wissen wir, dass das der Fall ist, wenn \(\gamma = 90°; 270°;450°;\dots\) ist bzw. wenn der Winkel \(\gamma\) ein ungerades Vielfaches von \(90°\) ist. Es muss sich somit um ein rechtwinkliges Dreieck handeln.

  Bedeutung

  Die Bedingung \(0=- 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos{(\gamma)}\) lässt sich demnach nur erfüllen, wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. In diesem Fall darf auch der Satz des Pythagoras angewendet werden. Der Kosinussatz und der Satz des Pythagoras sind dann gleich.

  Man kann den Kosinussatz also als den Satz des Pythagoras verstehen, der so erweitert wurde, dass er in allen Dreiecken benutzt werden darf.

• Wie kann man den Kosinussatz herleiten?

  Der Beweis des Kosinussatzes ist etwas länger, besteht aber nur aus geometrischen Überlegungen, die du alle schon aus dem Matheunterricht kennst. Wir betrachten ein beliebiges Dreieck und wollen den Kosinussatz \(a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot\cos(\alpha)\) beweisen.

  1. Zunächst zeichnen wir die Höhe \(h\) ein, die senkrecht auf \(c\) steht. Damit erhalten wir zwei rechtwinklige Dreiecke: \(\textit{BCH}\) und \(\textit{HCA}\).
  2. In den rechtwinkligen Dreiecken gilt der Satz des Pythagoras, also \(a^2 = h^2 + q^2\) beziehungsweise \(b^2 = h^2 + p^2\).
  3. Wir stellen \(b^2 = h^2 + p^2\) zu \(h^2 = b^2 - p^2\) um.
  4. Wir überlegen uns: Die Seite \(c\) wurde in \(p\) und \(q\) geteilt, also gilt: \(q = c-p\). Quadriert man die Gleichung, erhält man
     ​​​​​\(q^2 = \left(c-p\right)^2 = c^2 + p^2 -2\cdot c \cdot p\) (binomische Formel).
  5. In \(a^2 = h^2 + q^2\) setzen wir die Gleichungen für \(h^2\) und \(q^2\) aus den Schritten 3 und 4 ein und erhalten damit die Gleichung: \(\begin{align} a^2 =\ & b^2-p^2 c^2 + p^2 -2\cdot c \cdot p\\ =\ & b^2 +c^2- 2 \cdot c \cdot p \end{align}\)
  6. In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt für den Kosinus: \(\text{Kosinus des Winkels} = \frac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Hypotenuse}}\). Darum gilt \(\cos{(\alpha)} = \frac{p}{b}\) und umgestellt auch \(p = b \cdot \cos{(\alpha)}\)

  

  Setzt man die Gleichung aus 6 in die Gleichung aus 5 ein, erhält man die Formel des Kosinussatzes für \(a²\):

  \(a^2 = b^2 +c^2- 2 \cdot b \cdot c\cdot \cos{(\alpha)}\)

  Ganz ähnlich kannst du den Kosinussatz auch für \(b^2\) und \(c^2\) herleiten:

  \(\begin{align} b^2 &= a^2 +c^2- 2 \cdot a \cdot c\cdot \cos{(\beta)}\\ c^2&=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos({\gamma}) \end{align}\)

  Für \(c^2\) musst du jedoch eine andere Höhe wählen.

  Hinweis: Im Schritt 6 steckt die Bedingung, dass \(\alpha< 90°\). Jedoch kann auf ähnliche Weise gezeigt werden, dass die Formel auch für \(\alpha> 90°\) gilt und dass für \(\alpha= 90°\)der Satz des Pythagoras gilt. Der Kosinussatz gilt demnach in Dreiecken für alle Winkel.