Was du wissen musst
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Was sagt der Sinussatz über ein Dreieck aus?
In der Form, in der wir den Sinussatz anwenden, gibt er Verhältnisse an. Wir sehen uns die Sinussatzformel dazu noch einmal an:
\(\frac{\sin\left( \alpha \right) }{a} = \frac{\sin\left( \beta\right) }{b} = \frac{\sin\left( \gamma \right) }{c}\)
Das Verhältnis zwischen dem Sinus eines Winkels und der gegenüberliegenden Seite soll, laut der Formel, in einem Dreieck konstant sein. Das bedeutet, dass eine kürzere Seite einem kleineren Winkel gegenüberliegen muss – und eine längere Seite einem größeren Winkel.
In dem Beispiel sieht man, dass die längste Seite (\(\color{darkgreen}{b}\)) dem größten Winkel (\(\color{darkgreen}{\beta}\)) gegenüberliegt. Des Weiteren liegen die kürzeste Seite (\(\color{blue}{a}\)) und der kleinste Winkel (\(\color{blue}{\alpha}\)) einander gegenüber. Somit bleiben der mittelgroße Winkel und die mittelgroße Seite als Paar übrig (\(\color{orange}{c}\) und \(\color{orange}{\gamma}\)).
\(\color{blue}{\frac{\sin\left( \alpha \right) }{a}} = \color{darkgreen}{\frac{\sin\left( \beta\right) }{b}} = \color{orange}{\frac{\sin\left( \gamma \right) }{c} }\)
Aufgaben zum Sinussatz werden dir sehr häufig im Zusammenhang mit Dreiecken begegnen. Aber häufig musst du auch Anwendungsaufgaben oder rein innermathematische Fragestellungen mit dem Sinussatz lösen.
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Wofür benutzt man den Sinussatz?
Der Sinussatz wird zum Berechnen fehlender Größen in allgemeinen Dreiecken verwendet. Entsprechend den Voraussetzungen müssen drei Größen gegeben sein, davon eine Seitenlänge und der gegenüberliegende Winkel.
Schritte zum Berechnen der Größen des Dreiecks
- Es werden zunächst nur die Teile des Sinussatzes benutzt, in denen gegebene Größen vorkommen. In den zwei gewählten Brüchen sind alle außer einer Größe gegeben. Durch einfaches Umstellen kann die fehlende Größe berechnet werden.
- Nach diesem Schritt (spätestens) sind zwei Winkel bekannt. Mit der Winkelsumme in einem Dreieck kann der fehlende Winkel berechnet werden.
- Damit wird nur noch eine Größe gesucht, eine Seitenlänge. Sie kann nun wieder mit dem Sinussatz ausgerechnet werden, indem zwei Verhältnisse aus Sinus eines Winkels und Seitenlänge gleichgesetzt werden.
- Gegebenenfalls musst du nun jeweils noch den Winkel aus dem Sinus berechnen.
Achtung
Der Sinus ist keine eindeutige Funktion. Im Intervall \([0^°;180^°]\) haben (bis auf \(90^°\)) jeweils zwei Winkel den gleichen Sinuswert. Du musst deshalb prüfen, welcher der beiden möglichen Winkel sinnvoll ist.Rückblick
Diese Rechnungen im Dreieck sollten dich an die Kongruenzsätze im Dreieck erinnern. Auch diese Kongruenzsätze sagen aus, dass du aus einer geeigneten Gruppe von gegebenen Größen alle fehlenden Größen berechnen kannst.Häufig musst du den Sinussatz umformen, aber danach kannst du mit dem Sinussatz Winkel und Seitenlängen berechnen.
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Wie kann man den Sinussatz umstellen?
Manchmal kann die Formel für den Sinussatz etwas verwirrend sein, weil sie mehrere Gleichheitszeichen enthält.
\(\frac{\sin\left( \alpha \right) }{a} = \frac{\sin\left( \beta\right) }{b} = \frac{\sin\left( \gamma \right) }{c} \)
Jedoch benutzt du immer nur die beiden Verhältnisse, die du gerade für eine Berechnung benötigst, also beispielsweise:
\(\frac{sin\left( \alpha \right) }{a} = \frac{sin\left( \beta\right) }{b} \)
Dieser Teil der Formel kann nun wie jede Gleichung mit Äquivalenzumformungen umgestellt werden.
Beispiele
Umstellen nach dem Winkel \(\alpha\)
\( \begin{align} \frac{\sin\left( \alpha \right) }{a} &= \frac{\sin\left( \beta\right) }{b} &|\cdot a\\ \sin(\alpha)&=a\cdot\frac{\sin{(\beta)}}{b} &|\sin^{-1}\\ \alpha&=\sin^{-1}\left(a\cdot\frac{\sin(\beta)}{b}\right) &\end{align}\)
Umstellen nach der Seitenlänge \(a\)
\(\begin{align} \frac{\sin\left( \beta\right) }{b} &= \frac{\sin\left( \alpha \right) }{a} \quad &|\cdot a\\ a \cdot \frac{\sin\left( \beta\right) }{b} &= \sin\left( \alpha \right) \quad &|: \frac{\sin\left( \beta\right) }{b} \\ a &=\frac{b}{\sin\left( \beta\right)} \cdot \sin\left( \alpha \right)& \end{align}\)
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Wie kann man den Sinussatz herleiten?
Die Formel des Sinussatzes leitest du mit Überlegungen zu rechtwinkligen Dreiecken her.
- In einem Beliebigen Dreieck \(\text{ABC}\) wird die Höhe \(\color{darkgreen}{h}\) eingezeichnet. Sie steht rechtwinklig auf der Grundseite \(c\).
- Entlang dieser Höhe wird das Dreieck \(\text{ABC}\) in die kleineren Dreiecke geteilt. Es entstehen die Dreiecke \(\color{darkred}{\text{AHC}}\) und \(\color{blue}{\text{HBC}}\).
- Wir wissen, wie der Sinus in einem Dreieck definiert ist:
\(\text{Sinus eines Winkels} = \frac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Hypotenuse}}\) - Daraus folgen die Beziehungen:
\(\sin\left( \alpha \right) = \frac{h}{b}\) und \(\sin\left( \beta \right) = \frac{h}{a}\) - Beide Gleichungen werden nach \(h\) umgestellt.
\(\begin{align} \sin\left( \alpha \right) &= \frac{h}{b} \quad &| \cdot b \\ b \cdot \sin\left( \alpha \right) &= h& \end{align}\)
\(\begin{align} \sin\left( \beta \right) &= \frac{h}{a} \quad &|\cdot a\\ a \cdot\sin\left( \beta \right) &= h & \end{align}\)
- Nun können beide Gleichungen gleichgesetzt werden.
\(b\cdot \sin \left( \alpha \right) = h = a\cdot \sin \left( \beta \right)\), also \(b\cdot \sin \left( \alpha \right) = a\cdot \sin \left( \beta \right)\) - Daraus können nun die bekannten Verhältnisse gebildet werden:
\(\begin{align} b\cdot \sin \left( \alpha \right) &= a\cdot \sin \left( \beta \right) \quad &| :\sin \left( \alpha \right)\\ b &=\frac{ a}{ \sin \left( \alpha \right)}\cdot \sin \left( \beta \right) \quad &| :\sin \left( \beta \right)\\ \frac{b}{\sin \left( \beta \right)} &=\frac{ a}{ \sin \left( \alpha \right)}& \end {align} \)
Wird in dem allgemeinen Dreieck eine andere Höhe eingezeichnet und verwendet, ergeben sich entsprechend andere Verhältnisse (nämlich immer diejenigen, in denen die Winkel vorkommen, die nicht durch die Höhe geteilt werden).
Das Ausgangsdreieck ist ein allgemeines Dreieck \(\text{ABC}\).
In das Dreieck wird die Höhe eingezeichnet (1.).
Aus dem allgemeinen Dreieck sind die rechtwinkligen Dreiecke \(\color{darkred}{\text{AHC}}\) und \(\color{blue}{\text{HBC}}\) entstanden (2. und alle weiteren Schritte).
