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Trigonometrie | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Bei Aufgaben und Übungen zur Trigonometrie geht es darum, die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens geschickt an Dreiecken anzuwenden.

Hier siehst du alle Lernwege, die du für das Lösen von Übungsaufgaben zur Trigonometrie brauchst! Wenn du dein Wissen zur Trigonometrie testen möchtest, dann kannst du dich an den Übungen mit Lösungen aus unseren Klassenarbeiten versuchen.

Trigonometrie – Klassenarbeiten

Wie erkennt man Trigonometrieaufgaben?

Aufgaben und Übungen zur Trigonometrie erkennst du daran, dass du bei Dreiecken die fehlenden Seiten oder Winkel mithilfe der trigonometrischen Funktionen berechnen sollst. Dafür müssen mindestens eine Seite und ein Winkel oder aber zwei Seiten gegeben sein.

Weil die trigonometrischen Funktionen für rechtwinklige Dreiecke definiert sind, lohnt es sich immer zuerst zu prüfen, wo sich der rechte Winkel in dem gegebenen Dreieck befindet.

Dreiecke mit rechtem Winkel

Wenn das Ausgangsdreieck schon einen rechten Winkel hat, kannst du die trigonometrischen Funktionen direkt auf dieses Dreieck anwenden. Dafür teilst du die drei Dreieckseiten in Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete ein und kannst die fehlenden Seiten und Winkel sofort berechnen.

Ein Dreieck, bei dem einer der drei Winkel rechtwinklig ist

 

 

Dreiecke ohne rechten Winkel

Wenn das gegebene Dreieck keinen rechten Winkel aufweist, gibt es zwei Möglichkeiten:

  • Oft kann ein Dreieck ohne rechten Winkel in zwei Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel aufgeteilt werden. Das klappt immer dann, wenn die passenden Seitenlängen bzw. Winkel für eine solche Aufteilung in der Aufgabe gegeben sind.
  • Falls das nicht möglich ist, musst du sehr wahrscheinlich den Sinussatz oder den Kosinussatz anwenden, denn die gelten auch für Dreiecke ohne rechten Winkel!
Ein nicht rechtwinkliges Dreieck wird in zwei Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel aufgeteilt

 

Außerdem kann es noch passieren, dass du in einer Aufgabe gar kein Dreieck vorgegeben hast. Das sind meistens Anwendungs- oder Textaufgaben, wie beispielsweise die berühmte Turmaufgabe. Hier musst du dir zuerst eine Skizze des Dreiecks machen und die gegebenen Seiten und Winkel zuordnen.

Welche Formel braucht man in der Trigonometrie?

In Aufgaben zur Trigonometrie brauchst du vor allem die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens:

  • \(\sin = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
  • \(\cos = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
  • \(\tan = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)

Die Hypotenuse ist dabei eindeutig. Sie ist die Seitenlänge, die dem rechten Winkel im Dreieck gegenüberliegt. Die Gegen- und Ankatheten beziehen sich immer auf den Winkel, den man betrachtet. Dabei liegt die Gegenkathete gegenüber diesem Winkel und die Ankathete ist die Seite, die an dem Winkel liegt und gleichzeitig nicht die Hypotenuse ist.

Wie gibt man Sinus, Kosinus und Tangens in den Taschenrechner ein?

Wenn du eine der trigonometrischen Funktionen von einem Winkel bei einer Übungsaufgabe berechnen sollst, dann brauchst du dafür deinen Taschenrechner. Dabei gibt es einiges zu beachten!

Die richtige Einheit

Besonders wichtig ist es, dass dein Taschenrechner auf die richtige Winkeleinheit eingestellt ist, denn nur dann erhältst du das korrekte Ergebnis!

Das sind die beiden Einstellungen, die man für die Schule benötigt:

  • deg steht für das englische Wort degree, also Grad. In dieser Einstellung erwartet dein Taschenrechner den Winkel in Grad. Ein rechter Winkel sind zum Beispiel \(90 °\) und der Vollwinkel \(360 °\).
  • rad bedeutet dagegen, dass du den Winkel im Bogenmaß, also in der Einheit Radiant, eingeben musst. Im Bogenmaß beträgt ein rechter Winkel \(\frac{\pi}{2} \text{ rad}\) und der Vollwinkel \(2\pi\text{ rad}\).

Daneben gibt es auf den meisten Taschenrechnern noch die Einstellung grad. Die wird meistens in der Schule nicht benutzt und bezeichnet die Einheit Neugrad. Dabei entsprechen \(400 \text{ Neugrad}\) dem Vollwinkel, also \(360 °\).

Die richtige Reihenfolge

Neben der Einheit ist auch die Reihenfolge beim Eingeben entscheidend. Bei manchen Taschenrechnern musst du zuerst den Winkel eingeben und dann die Taste mit der gewünschten trigonometrischen Funktion drücken. Bei neueren Taschenrechnern kann es auch umgekehrt sein.

Wenn du dir bei deinem Taschenrechner nicht sicher bist, dann wirf am besten einen Blick in die Bedienungsanleitung!