Nie wieder Probleme mit dem Thema Figuren im Raum!

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Wie du untersuchst, ob gegebene Punkte aufeinanderfolgende Ecken von Figuren sind

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Untersuchen, ob gegebene Punkte Ecken von Figuren sind

Untersuchen, ob gegebene Punkte Ecken von Figuren sind (einfach)

Aufgabe:

Um nachzuweisen, dass Punkte oder Vektoren eine bestimmte Figur bilden, gibt es vier sinnvolle Schritte bei der Bearbeitung. Ordne die Handlungen den Schritten zu.

Greifbares Element 1 von 4.

Skizze anfertigen.

Greifbares Element 2 von 4.

Geometrische Bedingungen der Figur überlegen.

Greifbares Element 3 von 4.

Vektoren bestimmen.

Greifbares Element 4 von 4.

Vektoren vergleichen.

Ablagezone 1 von 4.

Schritt 1

Ablagezone 2 von 4.

Schritt 2

Ablagezone 3 von 4.

Schritt 3

Ablagezone 4 von 4.

Schritt 4

Aufgabe:

Eine Strecke geht von Punkt

$A(5\vert2\vert0)$ zu Punkt

$B(7\vert1\vert3)$ . Bestimme den Verbindungsvektor und markiere ihn.

$\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$
.
$\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 3 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right)$
.
$\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 3 \end{array}\right)$
.
$\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ -3 \end{array}\right)$
.
$\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)$
.
$\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} -3 \\\ -1 \\\ -2 \end{array}\right)$
.
$\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \\\ 3 \end{array}\right)$
.

Aufgabe:

Vervollständige den Lückentext sinnvoll, indem du die Bausteine an die passende Stelle ziehst.

Der Verbindungsvektor

$\left( \begin{array}{c} 6 \\\ 15 \\\ 3 \end{array}\right)$ ist ein

des Vektors

. Die beiden Vektoren sind

, zeigen aber in die

Richtung. Der Vektor

$\left( \begin{array}{c} -2 \\\ -5 \\\ -1 \end{array}\right)$ zeigt in die

Richtung. Die beiden Vektoren

$\left( \begin{array}{c} 2 \\\ 11 \\\ 3 \end{array}\right)$ und

$\left( \begin{array}{c} -6 \\\ 5 \\\ 7 \end{array}\right)$ sind

. Sie zeigen in

Richtungen.

$\left( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ 1 \end{array}\right)$

Vielfaches

nicht gleich

gleiche

entgegengesetzte

unterschiedliche

nicht gleich

Untersuchen, ob gegebene Punkte Ecken von Figuren sind (mittel)

Aufgabe:

Eine Strecke geht vom Punkt

$A(2\vert1\vert1)$ zum Punkt

$B(1\vert2\vert1)$ . Eine weitere Strecke geht vom Punkt

$C(3\vert1\vert1)$ zum Punkt

$D(2\vert3\vert1)$ . Gib an, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die beiden Strecken sind parallel zueinander.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Es sei

$ABCD$ ein Parallelogramm. Markiere zutreffende Aussagen zur geometrischen Bedingung eines Parallelogramms.

$\vec{AB}=\vec{DC}$ und $\vec{AD}=\vec{BC}$
.
$\vec{AB}=\vec{BC}$ und $\vec{BC}=\vec{DA}$
.
$\vec{AB}=(-\vec{DC})$ und $\vec{AD}=\vec{BC}$
.
$\vec{AB}=-\vec{CD}$ und $\vec{AD}=-\vec{CB}$
.
$\vec{AB}=\vec{CD}$ und $\vec{AD}=\vec{BC}$
.
$\vec{BA}=\vec{CD}$ und $\vec{DA}=\vec{CB}$
.

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Die Punkte

$A(5\vert{-}1\vert0), B(5\vert4\vert0), C(0\vert5\vert0)$ und

$D(0\vert0\vert0)$ bilden ein Parallelogramm.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Es sind die Punkte

$A(4\vert5\vert1), B(0\vert6\vert1)$ und

$C(0\vert1\vert1)$ gegeben. Entscheide, wie die Koordinaten des Punktes

$D$ gewählt werden müssen, damit die vier Punkte ein Parallelogramm ergeben. Schreibe die Koordinaten in die freien Felder.

$D($

$\vert$

$)$

Aufgabe:

Die Punkte

$A, B, C, D, E, F, G$ und

$H$ bilden einen Würfel. Die Koordinaten der Punkte

$A(4\vert1\vert6), B(4\vert4\vert6), C(1\vert4\vert6), D(1\vert1\vert6), E (4\vert1\vert9)$ sind bekannt. Bestimme die Koordinaten der restlichen Punkte und trage sie in die freien Felder ein.

$F($

$\vert$

$)$

$G($

$\vert$

$)$

$H($

$\vert$

$)$

Untersuchen, ob gegebene Punkte Ecken von Figuren sind (schwer)

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden vier Punkte.

$A(3\vert{-}11\vert15), B(-2\vert1\vert7), C(0\vert{-}5\vert11)$ und

$D(1\vert{-}8\vert13)$
Drei Punkte liegen auf einer Geraden, der vierte liegt nicht auf dieser Geraden. Markiere den Punkt, der nicht auf der Geraden liegt.

Richtig!

Falsch!

Vergessen!

Aufgabe:

Georg soll prüfen, ob die vier Punkte

$A(-3\vert{-}2\vert2), B(-3\vert1\vert2), C(-6\vert3\vert2)$ und

$D(-6\vert0\vert2)$ ein Parallelogramm bilden. Er stellt die Verbindungsvektoren auf und erhält:

$\vec{AB}= \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ 0 \end{array}\right), \vec{BC}= \left( \begin{array}{c} -3 \\\ 2 \\\ 0 \end{array}\right), \vec{CD}= \left( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 0 \end{array}\right)$ und

$\vec{DA}=\left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ 0 \end{array}\right)$

Er stellt fest, dass

$\vec{AB}\ \neq \vec{CD}$ und

$\vec{BC}\ \neq \vec{DA}$ und folgert, dass die vier Punkte kein Parallelogramm bilden. Entscheide, ob Georgs Überlegung wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Eine Familie möchte gern ein rechteckiges Beet anlegen, um dort Blumen anzupflanzen. Es stehen dafür zwei Grundstücke zur Verfügung.
Grundstück 1:

$A_1(-1\vert{-}4\vert0), B_1(-1\vert0\vert0), C_1(-5\vert{-}1\vert0)$ und

$D_1(-5\vert{-}3\vert0)$
Grundstück 2:

$A_2(-2\vert{-}2\vert0), B_2(-2\vert0\vert0), C_2(-7\vert0\vert0)$ und

$D_2(-7\vert{-}2\vert0)$
Entscheide, welches Grundstück besser zu dem Plan der Familie passt, das komplette Grundstück als rechteckiges Beet zu nutzen, und zieh das passende Grundstück in das Lösungsfeld.

Greifbares Element 1 von 2.

Grundstück 1

Greifbares Element 2 von 2.

Grundstück 2

Ablagezone 1 von 1.

Das passende Grundstück für das Blumenbeet:

Aufgabe:

Entscheide, was für eine Figur die folgenden Punkte bilden.

$A(2\vert{-}1\vert1), B(2\vert3\vert1), C(-2\vert3\vert1), D(-2\vert{-}1\vert1)$ und

$T(0\vert1\vert6)$

Pyramide
.
Zylinder
.
regelmäßiges Fünfeck
.
Fünfeck
.

Aufgabe:

Es sind die drei Punkte

$A(2\vert0\vert1), B(2\vert0\vert5)$ und

$C(5\vert0\vert1)$ gegeben. Entscheide, was für ein Dreieck die Punkte bilden.

gleichseitiges Dreieck
.
keines dieser Dreiecke
.
rechtwinkliges Dreieck
.
gleichschenkliges Dreieck
.

Wie du aus den Vektorkoordinaten und einer Punktkoordinate die Koordinaten des fehlenden Punktes bestimmst

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Aus Vektorkoordinaten und einer Punktkoordinate Koordinaten eines fehlenden Punkts bestimmen

Aus Vektorkoordinaten und einer Punktkoordinate Koordinaten eines fehlenden Punkts bestimmen (einfach)

Aufgabe:

Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Es sei

$A(1\vert3\vert2)$ und

$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 2 \\\ {-}2 \\\ 2 \end{array}\right)$ . Dann gilt:

$A + \vec v= (1\vert3\vert2)+ \left( \begin{array}{c} 2 \\\ {-}2 \\\ 2 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ 4 \end{array}\right)$

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Markiere den richtigen Vektor.

Der Ortsvektor zum Punkt

$A(1\vert3\vert2)$ ist ...

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right)$
.
$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right)$
.
$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} -1 \\\ {-}3 \\\ {-}2 \end{array}\right)$
.
$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)$
.

Aufgabe:

Notiere die Gleichung für den geschlossenen Vektorzug. Du beginnst im Ursprung und gehst als Erstes zu Punkt

$A$ . (Hinweis: Trage die Buchstaben ohne die Vektorpfeile in die freien Felder ein.)

$+$

$=$

Aus Vektorkoordinaten und einer Punktkoordinate Koordinaten eines fehlenden Punkts bestimmen (mittel)

Aufgabe:

Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Bei einem geschlossenen Vektorzug ergibt die Summe der Vektoren den Nullvektor.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Du hast folgende Vektoren gegeben:

$\vec a=\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right)$

$\vec c=\left( \begin{array}{c} 0 \\\ {-}2 \\\ 0 \end{array}\right)$

Bestimme mit dem geschlossenen Vektorzug den Vektor

$\vec b$ und markiere das korrekte Ergebnis.

$\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 0 \end{array}\right)=\vec b$
.
$\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)=\vec b$
.
$\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 5 \\\ 2 \end{array}\right)=\vec b$
.
$\left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)=\vec b$
.
$\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right)=\vec b$
.

Aufgabe:

In der vorherigen Aufgabe waren die Vektoren

$\vec a=\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right)$ und

$\vec c=\left( \begin{array}{c} 0 \\\ {-}2 \\\ 0 \end{array}\right)$ gegeben und es wurde der Vektor

$\vec b=\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$ bestimmt. Trage die Koordinaten für den Punkt

$B$ in die freien Felder ein.

Der Punkt

$A$ wird verschoben zu

$A_1$ . Dadurch ändert sich auch der Verbindungsvektor zu

$\vec c_1=\left( \begin{array}{c} -3 \\\ {-}2 \\\ 0 \end{array}\right)$ . Trage die Koordinaten von

$A_1$ in die freien Felder ein.

Die Koordinaten für den Punkt

$B$ sind:

$B($

$\vert$

$)$

Der verschobene Punkt

$A_1$ hat die Koordinaten:

$A_1($

$\vert$

$)$

Aufgabe:

Der Punkt

$A$ hat die Koordinaten

$A(3\vert{-}2\vert{-}1)$ und der Punkt

$B$ hat die Koordinaten

$B(1\vert1\vert2)$ . Berechne nun den Verbindungsvektor

$\vec c$ vom Punkt

$A$ zu Punkt

$B$ und zieh den richtigen Vektor in das Lösungsfeld.

Greifbares Element 1 von 5.

$\vec c=\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 3 \end{array}\right)$

Greifbares Element 2 von 5.

$\vec c=\left( \begin{array}{c} 2 \\\ {-}3 \\\ 1 \end{array}\right)$

Greifbares Element 3 von 5.

$\vec c=\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right)$

Greifbares Element 4 von 5.

$\vec c=\left( \begin{array}{c} 3 \\\ {-}2 \\\ 1 \end{array}\right)$

Greifbares Element 5 von 5.

$\vec c=\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ {-}1 \end{array}\right)$

Ablagezone 1 von 1.

Lösungsfeld

Aufgabe:

Gesucht sind die Koordinaten des Punkts

$F$ , die im dreidimensionalen euklidischen Raum von dem Vektor

$\vec w= \left( \begin{array}{c} -15 \\\ 2 \\\ 5\end{array}\right)$ in den Punkt

$T(-7\vert 12\vert4)$ verschoben werden. Berechne die Koordinaten und schreib sie in die freien Felder.

$F($

$\vert$

$)$

Aus Vektorkoordinaten und einer Punktkoordinate Koordinaten eines fehlenden Punkts bestimmen (schwer)

Aufgabe:

Vom Punkt

$U(-3\vert5\vert1)$ gehen die Verbindungsvektoren

$\vec z=\left( \begin{array}{c} 8 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$ und

$\vec r=\left( \begin{array}{c} 1 \\\ {-}3 \\\ 0 \end{array}\right)$ weg. Schreib in die freien Felder die Koordinaten desjenigen Punkts, der näher am Ursprung ist.

$($

$\vert$

$)$

Aufgabe:

Es sei

$B(2\vert1\vert1)$ und

$\vec u=\left( \begin{array}{c} 1 \\\ {-}1 \\\ {-}2 \end{array}\right),\vec v=\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec w=\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$ . Berechne die Koordinaten der Punkte

$A$ und

$C$ und markiere das korrekte Ergebnis.

$C(0\vert1\vert1)$ und $A(1\vert2\vert3)$
.
$C(0\vert1\vert0)$ und $A(4\vert2\vert3)$
.
$C(1\vert0\vert1)$ und $A(3\vert2\vert3)$
.
$C(0\vert0\vert1)$ und $A(1\vert2\vert1)$
.
$C(3\vert2\vert1)$ und $A(1\vert2\vert3)$
.

Aufgabe:

Bestimme die Koordinaten des Punktes

$D$ von einem Rechteck, wenn gilt:

$A(4\vert{-}2\vert0), B(10\vert10\vert0)$ und

$C=(10\vert10\vert6)$
Der Verbindungsvektor

$\vec s=\left( \begin{array}{c} 6 \\\ 12 \\\ 0 \end{array}\right)$ geht vom Punkt

$A$ zum Punkt

$B$ . Schreib im Anschluss die Koordinaten in die freien Felder.

$D($

$\vert$

$)$

Aufgabe:

Du sollst erneut einen vierten Punkt

$D$ bestimmen, damit sich ein Rechteck ergibt. Dieses Mal hast du gegeben:

$\vec c=\left( \begin{array}{c} 4 \\\ 13 \\\ 0 \end{array}\right)$
(Das ist der Ortsvektor zu Punkt

$C$ .)
Und die Punkte:

$A(10\vert10\vert6), B(10\vert10\vert0)$

Schreib die Punktkoordinaten für den Punkt

$D$ in die freien Felder.

$D($

$\vert$

$)$

Aufgabe:

Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Eine Strecke geht von Punkt

$A(4\vert{-}1\vert3)$ zu Punkt

$B(-2\vert2\vert2)$ . Der Punkt

$C(2\vert1\vert2)$ ist gleich dem Mittelpunkt

$M$ der Strecke.

Wahr

Falsch

Figuren im Raum

Figuren im Raum (einfach)

Aufgabe:

Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Mit der Punktkoordinate

$A(3\vert1\vert2)$ können direkt die Rechengesetze von Vektoren angewendet werden, da die Zahlen immer gleich bleiben.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Zieh die jeweiligen Punktkoordinaten zu den passenden Ortsvektoren.

Zum Ortsvektor

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} -7 \\\ 1 \\\ 3 \end{array}\right)$ gehört der Punkt

Zum Ortsvektor

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ {-}7\end{array}\right)$ gehört der Punkt

Zum Ortsvektor

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ {-}7 \end{array}\right)$ gehört der Punkt

$B(-7\vert1\vert3)$

$B(1\vert3\vert{-}7)$

$B(3\vert1\vert{-}7)$

Figuren im Raum (mittel)

Aufgabe:

Entscheide, welcher Punkt

$F$ der Ausgangspunkt ist, von dem man mit dem Vektor

$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ {-}1 \end{array}\right)$ in den Punkt

$W(7\vert9\vert{-}2)$ verschiebt.

$F(5\vert12\vert{-}3)$
.
$F(9\vert12\vert{-}1)$
.
$F(5\vert9\vert{-}3)$
.
$F(9\vert6\vert{-}1)$
.
$F(-9\vert{-}6\vert{-}1)$
.

Aufgabe:

Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

In dem geschlossenen Vektorzug $\vec d+\vec t+(-\vec r)=\vec d+\vec t-\vec r=\vec 0$ findet eine Verschiebung um $1$ statt.

Hinweis:

$x$ bildet die horizontale Achse und

$y$ bildet die vertikale Achse.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Jonathan behauptet, dass die vier Punkte

$A(2\vert{-}1\vert5), B(2\vert3\vert5), C(2\vert4\vert5)$ und

$D(2\vert0\vert5)$ ein Parallelogramm ergeben, weil

$\vec{AB}=\vec{DC}$ und

$\vec{BC}=\vec{AD}$ . Gib an, ob Jonathans Behauptung wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Figuren im Raum (schwer)

Aufgabe:

Im Mathebuch von Pedro steht, dass

$\vec a=\left( \begin{array}{c} -3 \\\ {-}3 \\\ {-}4 \end{array}\right)$ der Ortsvektor des Punkts

$A(3\vert3\vert4)$ ist. Gib an, ob diese Aussage in Pedros Mathebuch wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Janis behauptet, dass die vier Punkte

$A(2\vert{-}1\vert1), B(2\vert3\vert1), C(2\vert4\vert5)$ und

$D(2\vert0\vert5)$ ein Parallelogramm ergeben. Markiere die zutreffende Aussage.

Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm.
.
Die vier Punkte bilden ein beliebiges Viereck.
.
Keine der Aussagen trifft zu.
.
Die vier Punkte liegen auf einer Linie.
.

Aufgabe:

Die Punkte

$A(x\vert2\vert{-}2), B(8\vert8\vert{-}2), C(2\vert8\vert{-}2)$ und

$D(2\vert2\vert y)$ bilden ein Quadrat. Bestimme

$x$ und

$y$ und trage die Ergebnisse in die Felder ein.

$x=$

$y=$

Über Figuren im Raum

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