Mathematik
5. Klasse
‐
Abitur
Parameterform
Die Parameterform ist eine Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Dabei ist in der Regel ein Punkt bekannt, der Aufpunkt , sowie ein Richtungsvektor der gesuchten Geraden bzw. zwei Spannvektoren der gesuchten Ebene. Man sagt daher manchmal auch „Punkt-Richtungs-Form “ zu dieser Darstellung.
Man kann eine Ebenengleichung in Parameterform relativ einfach in die Koordinatenform umwandeln (für Geraden funktioniert das ganz ähnlich, nur mit einer Komponente weniger).
Beispiel:
Eine Gerade g wird beschrieben durch den Aufpunkt A , zu dessen Ortsvektor \(\vec a\) , zu dem ein positives oder negatives Vielfaches \(\lambda\) des Richtungsvektors \(\vec u\) addiert wird. In der Skizze ist der Faktor für den Punkt X etwa \(\lambda = 2,8\) .
Allgemein lautet die Gleichung für die Gerade g
\(g: \ \vec x = \vec a + \lambda \cdot \vec u\) bzw. \(g: \ \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\a_2\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\u_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + \lambda \cdot u_1\\ a_2 + \lambda \cdot u_2 \end{pmatrix}\)
Bei einer Ebenen gibt es zwei Spannvektoren und daher auch zwei Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) :
\(E: \ \vec x = \vec a + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot \vec v\) bzw. \(E: \ \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\a_3\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\u_2\\u_3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + \lambda \cdot u_1 + \mu \cdot u_1\\ a_2 + \lambda \cdot u_2+ \mu \cdot u_2 \\ a_3 + \lambda \cdot u_3+ \mu \cdot u_3 \end{pmatrix}\)
Eine Variante der Parameterform ist die Zweipunkteform (bei Geraden) bzw. die Dreipunkteform (bei Ebenen), deren Namen ziemlich selbsterklärend sind.
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Zugehörige Klassenarbeiten
Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte \(O(0|0|0)\), \(A(\sqrt{2}|0|0)\), \(B(\sqrt{2}|1|0)\) und \(C(0|1|0)\) sowie der Punkt \(D(1|1|0)\). (Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet.) Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke \(\overline {OD}\) gefaltet. Das Dreieck \(ODC\) bleibt dabei fest, während das Viereck \(OABD\) in das Viereck \(OA'B'D\) übergeht, das wieder in der \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt. Zur Veranschaulichung kann das
Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben: Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit \(0{,}6\) angenommen, in den späteren Lebensjahren mit \(0{,}8\). Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit \(0{,}5\) Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in 3 Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen \(x_1\): Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1) \(x_2\): Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben: Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit \(0{,}6\) angenommen, in den späteren Lebensjahren mit \(0{,}8\). Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit \(0{,}5\) Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in 3 Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen \(x_1\): Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1) \(x_2\): Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr