Satz von Vieta und pq-Formel

pq-Formel

pq-Formel (einfach)

Aufgabe:

Markiere die pq-Formel.

$x_{1/2}=-\,\frac q2\,\pm\,\sqrt{(\frac p2)^2\,-\,q^2}$
.
$x_{1/2}=-\,\frac p2\,\pm\,\sqrt{(\frac p2)\,-\,q}$
.
$x_{1/2}=-\,\frac p2\,\pm\,\sqrt{(\frac p2)^2\,-\,q}$
.
$x_{1/2}=-\,\frac q2\,\pm\,\sqrt{(\frac q2)^2\,-\,p}$
.

Aufgabe:

Füge die fehlenden Wörter ein.

Mit der pq-Formel ist es möglich, zu lösen. Dafür formt man diese in die

$x^2+px+q=0$ um.

Aufgabe:

Füge die Aussagen richtig zusammen.

Die Lösungen der pq-Formel hängt vom Term unter der Wurzel ab, also von:

.

Dabei musst du Folgendes beachten:

Ist der Term $>0$ , dann gibt es
.
Ist der Term
, dann gibt es
.
Ist der Term $<0$ , dann gibt es
.

zwei reelle Lösungen

$(\frac{p}{2})^2 - q$

keine reelle Lösung

eine reelle Lösung

$= 0$

pq-Formel (mittel)

Aufgabe:

Ordne die quadratische Gleichung mit ihrer Normalform und ihren Lösungen den richtigen Feldern zu.

Greifbares Element 1 von 10.

$5x^2-35x+30=0$

Greifbares Element 2 von 10.

$x^2-7x+6=0$

Greifbares Element 3 von 10.

$x_1=1$

Greifbares Element 4 von 10.

$x_2=6$

Quadratische Gleichungen

Normalform

Lösungen

Greifbares Element 8 von 10.

$x^3-5x^2-35x+30=0$

Greifbares Element 9 von 10.

$x_2=-3$

Greifbares Element 10 von 10.

$x_1=5$

Ablagezone 1 von 3.

Ablagezone 2 von 3.

Ablagezone 3 von 3.

Aufgabe:

Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung

$x^2-11x+10=0$ .

Hinweis: Gib bei

$x_1$ die kleinere Zahl an.

$x_1=$
$x_2=$

Aufgabe:

Berechne die Lösungen der Gleichung

$2x^2-2x-12=0$ und markiere die richtige Lösung.

$x_1=2$ und $x_2=-5$
.
$x_1=-3$ und $x_2=2$
.
$x_1=2$ und $x_2=5$
.
$x_1=3$ und $x_2=-2$
.

Aufgabe:

Ordne den quadratischen Gleichungen sowie den Graphen ihre Lösungsmenge zu.

Greifbares Element 2 von 7.

Graph mit Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse

Greifbares Element 3 von 7.

Greifbares Element 4 von 7.

$x^2-4x+4=0$

Greifbares Element 5 von 7.

Greifbares Element 6 von 7.

$x^2+4x+8=0$

Greifbares Element 7 von 7.

$x^2+4x-5=0$

Ablagezone 1 von 3.

zwei reelle Lösungen

Ablagezone 2 von 3.

eine reelle Lösung

Ablagezone 3 von 3.

keine reelle Lösung

pq-Formel (schwer)

Aufgabe:

Max behauptet, dass es nicht sinnvoll ist, die Lösungen der quadratischen Gleichung

$5x^2=20$ mit der pq-Formel zu berechnen.

Entscheide, ob Max Aussage richtig oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung:

$x^2+7x+5=2\,(-4x-x^2-2)$ und ergänze sie nachfolgend.

Hinweis: Gib bei

$x_1$ die größere Zahl an.

Die Lösungen lauten:

$x_1=$
$x_2=$

Aufgabe:

Bestimme und markiere die richtigen Lösungen der quadratischen Gleichung:

$\frac{1}{2}\Big(-16x^2+4x+\frac{61}{2}\Big)=-6x^2+8$

$x_{1/2}=\frac14\pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
.
$x_{1}=\frac12+\sqrt{\frac{31}{8}}$
$x_{2}=\frac18-\sqrt{\frac{5}{7}}$
.
$x_{1}=\frac16+\sqrt{\frac{1}{8}}$
$x_{2}=\frac35-\sqrt{\frac{41}{7}}$
.
$x_{1/2}=\frac12\pm\sqrt{\frac{31}{8}}$
.

Aufgabe:

Es ist ein Graph einer quadratischen Funktion gegeben, dessen Scheitelpunkt die Koordinaten

$S\,(7|-4)$ hat. Die Nullstellen lauten:

$x_1=9$
$x_2=5$

Entscheide, ob diese Nullstellen richtig sind.

Wahr

Falsch

Der Satz von Vieta

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Der Satz von Vieta

Der Satz von Vieta (einfach)

Aufgabe:

Vervollständige den folgenden Text.

Mithilfe des Satzes von Vieta kannst du lösen. Diese müssen aber in der vorliegen, die lautet:

$x^2\;+$

$x\;+$

$=0$ .

Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang zwischen

$p,\;q$ und den der Gleichung her.

Aufgabe:

Entscheide, welche Zusammenhänge zwischen

$p$ ,

$q$ und den Lösungen

$x_1$ und

$x_2$ bei der Gleichung

$x^2+px+q=0$ bestehen.

$x_1+x_2=-q$
.
$x_1 \cdot x_2=p$
.
$x_1\cdot x_2=q$
.
$x_1+x_2=-p$
.

Aufgabe:

Bestimme die Werte für

$p$ und

$q$ aus der Gleichung:

$x^2+3x-4=0$ .

$p=$

$q=$

Der Satz von Vieta (mittel)

Aufgabe:

Folgende Gleichung kann mit dem Satz von Vieta und den Werten

$p=-1$ und

$q=2$ gelöst werden:

$-x^2-x+2=0$

Entscheide, ob diese Aussage wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Bestimme die Werte für

$p$ und

$q$ , um den Satz von Vieta in folgender Gleichung anzuwenden:

$-3x^2+6x-2=7$

$p=$

$q=$

Aufgabe:

Bestimme mithilfe des Satzes von Vieta die Lösungen für folgende Gleichung:

$x^2-x-2=0$

$x=-1$
.
$x=1$
.
$x=-2$
.
$x=2$
.

Aufgabe:

Bestimme mithilfe des Satzes von Vieta die Lösungen folgender Gleichung:

$1{,}5x^2+3x=4{,}5$

Gib zuerst die kleinere Lösung an.

$x_1=$

$x_2=$

Der Satz von Vieta (schwer)

Aufgabe:

Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichung:

$3x^2-5x+7=x\cdot (2x-3)+6$

$x_1=$

$x_2=$

Aufgabe:

Sind für eine Gleichung die Lösungen

$x_1=5$ und

$x_2=-3$ gegeben, so kann man die gesuchte Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta schnell in der Normalform mit den Werten

$p=-2$ und

$q=-15$ bestimmen.

Entscheide, ob diese Aussage wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Finde eine quadratische Gleichung, welche die Lösungen

$x_1=5$ und

$x_2=-7$ hat.

$x^2+5x-7=0$
.
$x^2-5x+7=0$
.
$x^2-2x+35=0$
.
$x^2+2x-35=0$
.

Aufgabe:

Ist der Funktionsterm einer quadrischen Funktion mit den Nullstellen

$x_1$ und

$x_2$ gesucht, lässt sich hierfür auch der Satz von Vieta anwenden.

Fülle die Lücken des folgenden Textes zur Vorgehensweise aus.

Sind die Nullstellen

$x_1$ und

$x_2$ einer

Funktion gegeben, so kann man mithilfe des Satzes von Vieta leicht den Funktionsterm in der Normalform bestimmen. Diese lautet:

$f(x)=$

$x^2\;+$

$x\;+$

Dazu müssen die Nullstellen

werden und mit

multipliziert werden, um

zu erhalten.

Um

zu erhalten, müssen die Nullstellen

werden.

/1

multipliziert

$-1$

p

addiert

p

quadratischen

q

Wie du den Satz von Vieta anwendest

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Schritt-für-Schritt-Anleitung zum VideoZeige im Fenster Drucken

Satz von Vieta anwenden

Satz von Vieta anwenden (einfach)

Aufgabe:

Bringe die Schritte, die nötig sind, um eine quadratische Gleichung zu lösen, in die richtige Reihenfolge.

Lösung angeben

$q$ in alle möglichen Faktoren zerlegen

Werte für

$p$ und

$q$ bestimmen

Faktorenpaar finden, das addiert

$-p$ ergibt

Probe

Prüfen, ob die Gleichung in der Normalform vorliegt

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Gleichung:

$x^2-2x-15=0$

Vervollständige die Lösung, die zur Bestimmung von

$x_1$ und

$x_2$ führt.

1. Werte für

$p$ und

$q$ bestimmen:

$p=$

$q=$

2.

$(-15)$ in alle möglichen Faktoren zerlegen:

$q=(-1)\; \cdot$

$q=$

$\cdot$

$q=(-5)\; \cdot$

$q=(-15)\; \cdot$

3. Faktorenpaar finden, das addiert

$2$ ergibt:

$(-1)+15=$

$(-3)+5=$

$(-5)+3=$

$(-15)+1=$

4. Lösung angeben:

$x_1=$

$x_2=$

Aufgabe:

Bestimme die möglichen Kandidaten für Lösungen folgender Gleichung:

$x^2+5x+4=0$

$-3$
.
$1$
.
$3$
.
$-4$
.
$4$
.
$2$
.
$-2$
.
$-1$
.

Satz von Vieta anwenden (mittel)

Aufgabe:

Bestimme mit dem Satz von Vieta die Lösungen der folgenden Gleichung:

$5x^2+5x-10=0$

$x_1=$

$x_2=$

Aufgabe:

Bestimme die Gleichung, welche folgende Lösungen hat:

$x_1=6\\ x_2=-8$

$x^2-48x+2=0$
.
$x^2-2x-48=0$
.
$x^2+2x-48=0$
.
$x^2+6x-8=0$
.

Aufgabe:

Gegeben ist der Funktionsterm:

$f(x)=x^2+x-6$

Diese Funktion hat die Nullstellen

$x_1=-3$ und

$x_2=2$ .

Entscheide, ob diese Aussage wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Bestimme mit dem Satz von Vieta die Nullstellen der folgenden Funktion:

$f(x)=x^2-5x-36$

$x_1=$

$x_2=$

Aufgabe:

Ordne die Nullstellen den jeweiligen Funktionen zu.

Greifbares Element 1 von 6.

$x=1$

Greifbares Element 2 von 6.

$x=2$

Greifbares Element 3 von 6.

$x=-3$

Greifbares Element 4 von 6.

$x=4$

Greifbares Element 5 von 6.

$x=5$

Greifbares Element 6 von 6.

$x=7$

Ablagezone 1 von 3.

$f(x)=x^2-8x+7$

Ablagezone 2 von 3.

$g (x)=x^2+x-6$

Ablagezone 3 von 3.

$h(x)=x^2-9x+20$

Satz von Vieta anwenden (schwer)

Aufgabe:

Bestimme mit Hilfe des Satzes von Vieta die Lösungen folgender Gleichung:

$7x=2x^2+6$

Gib zuerst die kleinere Lösung an.

$x_1=$

$x_2=$

Aufgabe:

Bestimme eine quadratische Gleichung in der Normalform, die folgende Lösungen besitzt:

$x_1= - 0{,}8$ und

$x_2=1$ .

$x^2$

$x$

$=0$

Aufgabe:

Peter hat für die folgende Gleichung die Lösungen

$x_1=6$ und

$x_2=-1$ herausgefunden:

$4x^2-5x-6=0$

Er begründet seine Lösung mit folgender Rechnung:

$\begin{align} 6+(-\;1)=5=-\;p\\ 6\cdot(-\;1)=-\;6=q \end{align}$

Entscheide, ob seine Aussage wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Bestimme die Funktionen, bei denen es sinnvoll ist, die Nullstellen mit dem Satz von Vieta herauszufinden.

$f(x)=(x-2)(x+3)$
.
$g(x)=x^2+4x-5$
.
$i(x)=x^2+\frac13x-\frac19$
.
$h(x)=x^2+3x$
.

Aufgabe:

Ordne den Graphen jeweils die richtige Funktion zu.

Greifbares Element 1 von 3.

$f(x)=x^2+2x-3$

Greifbares Element 2 von 3.

$g(x)=x^2-x-2$

Greifbares Element 3 von 3.

$h(x)=x^2-\frac14x-\frac18$

Ablagezone 1 von 3.

Graph 1

Ablagezone 2 von 3.

Graph 2

Ablagezone 3 von 3.

Graph 3

Aufgabe:

Bestimme den Funktionsterm einer Funktion, deren Nullstellen

$9$ Längeneinheiten auseinanderliegen und deren Graph nach unten geöffnet und achsensymetrisch zur y-Achse ist (siehe Skizze).

Hinweis: Vergiss nicht die Rechenzeichen einzufügen.

$f(x)=$

$x^2$

$x$

Satz von Vieta und p-q-Formel

Satz von Vieta und p-q-Formel (einfach)

Aufgabe:

Markiere den oder die Fehler in der p-q-Formel.

Richtig!

Falsch!

Vergessen!

Aufgabe:

Wie lautet der Satz von Vieta? Ergänze die Lücken.

Hinweis

Um Indizes zu schreiben, verwendest du den Unterstrich: $x_1=x\text_1$ .

$x_1\cdot$ $=$
$x_1$ $x_2=$

Aufgabe:

Bestimme $p$ und $q$ aus der Gleichung $0=-2x+3+x^2$ .

$p=2$ ; $q=-3$
.
$p=-2$ ; $q=-3$
.
$p=-2$ ; $q=3$
.
$p=2$ ; $q=3$
.

Satz von Vieta und p-q-Formel (mittel)

Aufgabe:

Ziehe die Gleichungen in den passenden Kasten.

Greifbares Element 1 von 3.

$0=x^2+2x$

Greifbares Element 2 von 3.

$0=x^2-x+6$

Greifbares Element 3 von 3.

$0=2x^2$

Ablagezone 1 von 3.

Eine Lösung

Ablagezone 2 von 3.

Keine Lösung

Ablagezone 3 von 3.

Zwei Lösungen

Aufgabe:

Bestimme die Lösungen der Gleichung $0=-2x^2+4x+6$ .
Markiere das richtige Ergebnis.

$x_1=-3$ ; $x_2=1$
.
$x_1=3$ ; $x_2=1$
.
$x_1=3$ ; $x_2=-1$
.
$x_1=-3$ ; $x_2=-1$
.

Aufgabe:

Martha soll die Lösungen folgender Gleichung bestimmen: $0=x^2+4x+2$ .

Sie kann sich an den Satz von Vieta erinnern und überlegt:
$p=x_1+x_2$ ; $q=x_1\cdot x_2$

Sie weiß nun schon, dass $p=4$ und $q=2$ .

Nach ein paar Berechnungen kommt sie zu der Lösung, dass $x_1=\sqrt{\frac{1}{2}}$ und $x_2=-\sqrt{\frac{1}{2}}$ ist.

Entscheide, ob das Ergebnis wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Satz von Vieta und p-q-Formel (schwer)

Aufgabe:

Ordne den Normalformen die passenden Lösungen zu. Verwende dabei den Satz von Vieta oder die p-q-Formel.

$x_1=-4$ ;

$x_2=5$

$x_1=-5$ ;

$x_2=-6$

$x_1=1$ ;

$x_2=-2$

$x_1=-1$ ;

$x_2=-2$

$0=x^2+x-2$ :

$0=x^2+3x+2$ :

$0=x^2-x-30$ :

$0=x^2-x-20$ :

Aufgabe:

Ziehe alle Gleichungen in das Kästchen mit der passenden Lösung.

Greifbares Element 1 von 5.

$0=x^2-2x$

Greifbares Element 2 von 5.

$12=5x^2-10x+12$

Greifbares Element 3 von 5.

$0=x^2-4$

Greifbares Element 4 von 5.

$16x=4x^2+4(4x-4)$

Greifbares Element 5 von 5.

$0=5x^2+x+10$

Ablagezone 1 von 3.

$\mathbb{L}=\text{{0;2}}$

Ablagezone 2 von 3.

$\mathbb {L}=\text{{2;-2}}$

Ablagezone 3 von 3.

$\mathbb{L}=\varnothing$

Aufgabe:

Gegeben sei der Scheitelpunkt $S(3|-4)$ einer Normalform. Ermittle die Nullstellen der passenden quadratischen Gleichung.

Hinweis

Den Scheitelpunkt $S(d|e)$ kannst du in die Scheitelpunktform überführen:

$0=a\cdot (x-d)^2+e$

$x_1=5$ ; $x_2=1$
.
$x_1=3$
.
$x_1=-5$ ; $x_2=-1$
.
$x_1=2$ ; $x_2=-2$
.

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pq-Formel - Lösungsverfahren für die Normalform quadratischer Gleichungen

pq-Formel

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