Quadratische Gleichungen – Lernwege
Quadratische Gleichungen – Klassenarbeiten
Welche Aufgaben gibt es zu Quadratischen Gleichungen?
Du hast vielleicht schon Quadratische Funktionen kennengelernt und gesehen, dass manche Graphen dieser Funktionen die x-Achse schneiden. Um diese Nullstellen von Quadratischen Funktionen zu bestimmen benötigst du Methoden um quadratische Gleichungen zu lösen.
Manchmal sollst du auch Schnittpunkte von quadratischen und linearen Funktionen oder von zwei Quadratischen Funktionen bestimmen. Auch dabei erhältst du quadratische Gleichungen.
Es gibt auch Aufgaben, bei denen nur gefragt ist, wie viele Lösungen eine Quadratische Gleichung hat. Die Lösungen sind dabei gar nicht explizit gefragt.
Quadratische Gleichungen werden dir in der Schule auch in vielen anderen Zusammenhängen begegnen. Sie bilden eine der wichtigsten Grundlagen, wenn Gleichungen zum Lösen von Problemen verwendet werden.
Welche Typen von quadratischen Gleichungen gibt es?
Bevor du dich an das eigentliche Lösen der Gleichung machen kannst, musst du die Gleichung zunächst einmal mittels Äquivalenzumformungen in eine passende Form bringen. Hier bietet es sich an, alle Klammern aufzulösen und dann alle Terme auf eine Seite zu bringen. Damit erhältst du dann die allgemeine Form einer Quadratischen Gleichung.
\(ax^2+bx+c=0\)
Manchmal wird b dabei den Wert Null haben du erhältst dann eine Reinquadratische Gleichung.
\(ax^2+c=0\)
Bei anderen Aufgaben wird die Konstante c „verschwinden“ und in jedem Summanden kommt dann eine x-Potenz vor. Du erhältst dann eine Quadratische Gleichung ohne konstantes Glied.
\(ax^2+bx=0\)
Wenn du die allgemeine Form der Quadratischen Gleichung noch durch den Vorfaktor a von x^2 dividierst, erhältst du die Normalform der quadratischen Gleichung.
\(x^2+px+q=0\)
Neben den obigen Gleichungstypen gibt es noch zwei spezielle Arten von Quadratischen Gleichungen, bei denen es nicht sinnvoll ist die Klammern aufzulösen und alles auf eine Seite zu bringen.
Dabei handelt es sich um Gleichungen in Produktform:
\((ax+b)(cx+d)=0\)
oder auch um Gleichungen in „Scheitelpunktform“ :
\(a(bx+c)^2-d=0\)
Diese beiden Gleichungstypen kannst du ohne großen Aufwand lösen.
Wie löst man quadratische Gleichungen?
Bei manchen quadratischen Gleichungen kannst du die Lösungen sogar durch Zeichnen ermitteln. Du verwendest also ein graphisches Lösungsverfahren. Das funktioniert aber nur wenn die Lösungen sehr einfache, meist kleine und gut ablesbare Zahlen sind.
Quadratische Gleichungen mit Formel lösen
Ein zweites Verfahren ist die Methode der quadratischen Ergänzung. Dabei wird der Term so ergänzt, dass du ihn anschließend mit der ersten oder zweiten Binomischen Formel zusammenfassen kannst. Im nächsten Schritt wird dann noch die dritte Binomische Formel (oder eine Wurzel) verwendet.
Wenn du die Gleichung in der Normalform hast, kannst du auch die allgemeine Lösungsformel, oft auch pq-Formel genannt, verwenden. Dabei musst du nur die entsprechenden Werte für p und q aus der Gleichung ablesen, in die folgende Formel einsetzen und dann ausrechnen.
\(x_{1,2}=\frac{-p}{2}±\sqrt{(\frac p2)^2-q }\)
Für Gleichungen in der allgemeinen Form gibt es auch eine Lösungsformel, bei der du auch nur einsetzen und ausrechnen musst.
\(x_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
Diese Formel wird auch als Mitternachtsformel oder abc-Formel bezeichnet und oft in Süddeutschland verwendet.
Wie viele Lösungen haben quadratische Gleichungen?
Du hast schon gelernt, dass das Quadrat zweier Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, gleich ist: 5^2=〖(-5)〗^2=25. Du siehst auch, dass beim Lösen von Quadratischen Gleichungen die Quadratwurzel verwendet wird. Diese kann man aber nur berechnen wenn der Radikand nicht negativ ist. Aus diesen beiden Gründen gibt es Quadratische Gleichungen mit keiner Lösung, einer Lösung oder auch zwei Lösungen. Anschaulich kannst du dir das vorstellen, da der Graph einer Parabel die x-Achse in keinem, einem oder in zwei Punkten schneiden kann.
Was macht man mit den Lösungen von Quadratischen Gleichungen?
Bei manchen Aufgaben reicht es aus wenn du einfach nur verschiedenen Lösungen der Gleichung angibst. Hier musst du also nur die berechneten x-Werte aufschreiben.
Wenn nach den Nullstellen einer Funktion gefragt ist, gibst die noch die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse noch an: Zum Beispiel: \(N_1 (-3│0) \) und \(SN_2 (5│0)\).
Wenn nach einer Lösungsmenge gefragt ist, wirst du die Lösungen noch in der Mengenschreibweise notieren. Zum Beispiel: \(\mathbb{L} =\{-3{,}5\}\)
Wenn du die Schnittpunkte zweier Funktionen bestimmen sollst, musst du die berechneten x-Werte, anschließen noch in eine der beiden Funktionen einsetzen um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen. Als Lösung hast du dann zum Beispiel: \(S_1 (-3│1)\) und \(S_2 (5│-7)\).