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Quadratische Funktionen | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Du bist dir noch nicht ganz sicher, ob du alle Aufgaben und Übungen zu den quadratischen Funktionen lösen kannst? Hier bist du richtig! Wir erklären dir alles, was du für Aufgaben zu diesem Thema beherrschen solltest: quadratische Funktionen zeichnen, Funktionsterme aufstellen, Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnen und Anwendungsaufgaben lösen.

Diese Aufgabentypen begegnen dir, sobald du es mit quadratischen Funktionen zu tun bekommst. Begleiten werden sie dich aber bis zum Abitur.

Hier ist alles zum Thema „Quadratische Funktionen“ zusammengefasst. Fühlst du dich schon fit genug, kannst du gleich mit den Klassenarbeiten eine Prüfungssituation nachstellen.

Wie zeichnet man eine quadratische Funktion?

Der Graph einer quadratischen Funktion \(f(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c\) ist immer eine Parabel. Wenn du diese zu einer gegebenen Funktionsgleichung zeichnen sollst, kannst du natürlich eine Wertetabelle anlegen, die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatensystem eintragen und dann verbinden. 
Einfacher geht es aber mit diesem Trick:

  1. Zuerst zeichnest du den Scheitelpunkt ein. 
  2. Die Punkte der Parabel um den Scheitelpunkt kannst du leicht bestimmen, indem du das Quadrat der Schrittzahl, die du von dem Scheitelpunkt aus nach links oder rechts gehst, mit dem Betrag des Streckfaktors \(a\) multiplizierst. Das Ergebnis ist dann die Schrittzahl, die du nach oben (positiver Streckfaktor) oder nach unten (negativer Streckfaktor) gehen musst.

Auf diesem Weg kannst du die Punkte der Parabel schnell bestimmen! Wie das genau funktioniert, siehst du an einem Beispiel in unserem Anleitungsvideo zum Skizzieren einer Parabel. Dort findest du auch interaktive Übungsaufgaben rund um das Zeichnen von Parabeln. 

 

Wie bestimmt man den Funktionsterm von quadratischen Funktionen?

Bei Aufgaben und Übungen zu quadratischen Funktionen musst du oft den Funktionsterm  bestimmen. Wie man das am Besten macht, hängt davon ab, was in der Aufgabe gegeben ist. 

Wenn du den Graphen der quadratischen Funktion gegeben hast, kommst du am leichtesten mit der Scheitelpunktform zum Ziel:

  1. Zuerst liest du den Scheitelpunkt \(S(d|e)\) aus dem Graphen ab und setzt seinen x- und y-Wert in die Scheitelpunktform ein, also\(f(x)\,=\,a\,(x-d)^2+e\).
  2. Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, suchst du einen zweiten Punkt auf dem Funktionsgraphen, den du gut ablesen kannst. Seine Koordinaten setzt du dann in die Funktionsgleichung ein und stellst nach \(a\) um. 

Bei Textaufgaben ist die Ausgangssituation etwas anders. Hier sind einige Eigenschaften der Parabel beschrieben, wie zum Beispiel:

  • Streckfaktor
  • Koordinaten des Scheitelpunkts
  • Schnittpunkt mit der y-Achse
  • Öffnung nach oben oder unten

Bei solchen Aufgaben musst du die gegebenen Informationen Stück für Stück den richtigen Variablen der Funktionsgleichung zuordnen. Wenn im Text der Scheitelpunkt erwähnt ist, ist das meistens ein Hinweis dafür, die Scheitelpunktform zu verwenden. 

Alle Details zum Bestimmen des Funktionsterms findest du in unserem Anleitungsvideo zum Aufstellen von Funktionstermen. Diese interaktiven Übungsaufgaben mit Lösungen geben dir dazu noch die nötige Sicherheit für diesen Aufgabentyp.

Wie berechnet man die Nullstellen von quadratischen Funktionen?

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, ist Teil jeder Klassenarbeit zu diesem Thema! Dabei kann eine quadratische Funktion zwei, eine oder auch keine Nullstelle haben. Um sie auszurechnen, setzt du den Funktionsterm gleich Null: \(f(x)\,=\,0\).
Anschließend musst du die Gleichung nach x auflösen. Wenn die Gleichung die Form \(f(x)\,=\,ax^2+bx\) hat, kannst du dafür ein x ausklammern. Das kannst du dir in Ruhe in unserem Anleitungsvideo zum Bestimmen von Nullstellen noch einmal anschauen.
Wenn die quadratische Funktion allerdings die Form \(f(x)\,=\,ax^2+bx+c\) hat, dann ist es etwas komplizierter, nach x aufzulösen. In diesem Fall kommst du um das Anwenden der pq-Formel oder der Mitternachtsformel nicht herum.
Nullstellen zu berechnen, funktioniert also immer nach dem gleichen Prinzip. Das kannst du am besten durch viel Üben verinnerlichen, zum Beispiel mit unseren interaktiven Übungsaufgaben zum Bestimmen von Nullstellen.

 

Typische Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen

Auf die typischen Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen wirst du durch unsere Anleitungsvideos und interaktiven Übungsaufgaben mit Lösungen bestens vorbereitet! Hier lernst du, wie du diese Aufgabenstellungen angehst, indem du:

  • Funktionsterme den passenden Graphen zuordnest,
  • den Streckfaktor einer Parabel bestimmst,
  • aus der Scheitelpunktform die Normalform bildest und umgekehrt, 
  • den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden bestimmst.

Falls du noch mehr Übungsaufgaben brauchst, schau dir einfach unsere Klassenarbeiten zu quadratischen Funktionen als Test für die nächste richtige Arbeit an. Dort findest du auch Textaufgaben mit Lösungen zu den quadratischen Funktionen.