Gleichungssysteme – die beliebtesten Themen
Was ist ein Gleichungssystem?
- Ein Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei Gleichungen mit jeweils mindestens einer gemeinsamen Unbekannten.
- Die Lösung für die jeweilige Variable muss für alle Gleichungen gleichzeitig gelten.
Gleichungssysteme berechnen: Wie funktioniert das?
Man unterscheidet zwischen linearen Gleichungssystemen (LGS) sowie homogenen und inhomogenen Gleichungssystemen. In der Schule werden dir in erster Linie die linearen Gleichungssysteme begegnen. Dabei handelt es sich um eine Menge von linearen Gleichungen. Kennzeichnend für lineare Gleichungen ist, dass die Variablen nur in der ersten Potenz vorkommen, also \(x\) oder \(x^2\), und nicht z. B. quadriert wurden.
Die Bedingungen für die Gleichungssysteme gibt z. B. eine Textaufgabe vor, die das Vielfache der Variablen sowie die Summe enthalten sollte. Diese lassen sich als Gleichung aufstellen. Dies wird für die weiteren Gleichungen wiederholt. Beispielhaft sehen Gleichungssysteme mit zwei Variablen so aus:
\(\begin {align}2x + 4y &= 80\\ 4x - 2y &= 40\end{align}\)
Die Lösung für ein lineares Gleichungssystem besteht immer aus so vielen Lösungen wie Variablen enthalten sind. Im oben genannten Beispiel wären es zwei Lösungen: x und y.
Beachte:
- Die Variable muss nicht x sein, sondern kann auch jeder andere Buchstabe sein.
- Es gibt auch Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen.
Verschiedene Wege führen zur Lösung
Für die Lösung von Gleichungssystemen werden verschiedene Verfahren angewandt. In der Schule lernst du meistens diese:
- Gleichsetzungsverfahren
- Einsetzungsverfahren
- Additionsverfahren
Zusätzlich gibt es auch das Gauß-Eliminationsverfahren, das lernt man in der Schule aber meistens nicht.
Welches dieser Lösungsverfahren du in einer Aufgabe anwendest, hängt davon ab, wie dein Gleichungssystem aufgebaut ist. Je nachdem ist ein Lösungsverfahren einfacher oder schneller als ein anderes.
Aber immer gilt:
Werden alle Lösungsverfahren für dasselbe Gleichungssystem angewandt, kommt immer die gleiche Lösung heraus.