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Gleichungssysteme | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Gleichungssysteme sind ein wichtiges Teilgebiet in der Mathematik. Sobald du sie kennengelernt hast, werden sie dir häufig im Unterricht begegnen. 
Aufgaben, welche Gleichungssysteme enthalten, haben das Ziel, unbekannte Größen zu bestimmen. Dafür werden Beziehungen zu anderen Variablen oder Verhältnisse untereinander genutzt. 
Wichtig für das Lösen von Gleichungssystemen ist, dass du weißt, wie Gleichungen im Allgemeinen umgeformt werden. Denn das ist der Grundbaustein, um die Unbekannten zu bestimmen. Dabei ist es egal, ob du ein lineares, homogenes oder inhomogenes Gleichungssystem vor dir hast.

Wenn du dich mit dem Lösen von Gleichungssystemen ausreichend beschäftigt hast und meinst, alles verstanden zu haben, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten testen.

Gleichungssysteme – Klassenarbeiten

Wie erkennt man Gleichungssysteme?

Bevor du mit dem Lösen anfangen kannst, solltest du vorher das Gleichungssystem untersuchen und identifizieren. Das ist gar nicht so schwierig, denn der Aufbau ist im Grunde immer gleich. 

Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei Gleichungen, welche untereinandergeschrieben werden. Beide Gleichungen sehen dann folgendermaßen aus: Auf der einen Seite der Gleichung befinden sich die Koeffizienten und Variablen, auf der anderen Seite steht das Ergebnis des beschriebenen Verhältnisses.

Die Zahlen hinter den Gleichheitszeichen bilden zusammen einen Vektor. Dieser Vektor entscheidet über die Art des linearen Gleichungssystems. 

Lineare Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem wird als linear bezeichnet, wenn alle Gleichungen linear sind. Das bedeutet, alle vorkommenden Variablen besitzen den Exponenten 1. 

Lineare Gleichungssysteme können außerdem in homogen und inhomogen unterschieden werden. Welche Art du vor dir liegen hast, kannst du an dem vorher erwähnten Vektor erkennen. Besteht er komplett aus Nullen, also ist er ein sogenannter Nullvektor, dann ist das System homogen. Ansonsten ist das System inhomogen. 

Nicht lineare Gleichungssysteme

Neben den linearen Gleichungssystemen gibt es auch die nicht linearen Gleichungssysteme. Hier können die Gleichungen zum Beispiel quadratisch sein oder den Kosinus enthalten. Es reicht, wenn nur eine der Gleichungen im System nicht linear ist, um das gesamte Gleichungssystem als nicht linear zu bezeichnen. 

Wie löst man Gleichungssysteme?

Hast du die Art des Gleichungssystems identifiziert, dann kannst du anfangen, es zu lösen. Wie genau du das tust, ist davon abhängig, ob es linear oder nicht linear ist. Unabhängig von der Art des Systems gilt aber immer folgende Regel:

Um ein Gleichungssystem eindeutig lösen zu können, muss es mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte geben!

Ist dies nicht der Fall, dann gibt es keine eindeutige Lösung. Das bedeutet, eine Variable ist dann immer noch abhängig von einer anderen Variablen.  

Für die linearen Gleichungssysteme gibt es vier verschiedene Lösungsverfahren, welche verwendet werden können:

  • das Einsetzungsverfahren,
  • das Gleichsetzungsverfahren,
  • das Additionsverfahren,
  • das gaußsche Eliminationsverfahren.

Welches dieser Verfahren die beste Wahl ist, ist immer abhängig von dem vorliegenden Gleichungssystem. Alle sind jedoch im Grunde so aufgebaut, dass du die Gleichungen passend umformst. Je nach Umformung solltest du die Gleichungen dann miteinander addieren, gegenseitig einsetzen oder gleichsetzen können.  

Für nicht lineare Gleichungssysteme gelten diese Verfahren nicht. Es gibt leider kein „Kochrezept“, wie du diese Systeme algebraisch lösen kannst. Aber keine Sorge, in deinem Mathematikunterricht wirst du wahrscheinlich erst einmal nur lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen müssen. 

Wie stellt man Gleichungssysteme aus Textaufgaben auf?

Häufig werden dir nicht direkt fertig aufgestellte Gleichungssysteme zum Lösen gegeben. Du musst sie dann selbst mithilfe eines Aufgabentextes erstellen. Dabei hilft es, nicht direkt das System aufzuschreiben, sondern sich zuerst ein paar Stichpunkte zu machen.

  • Welche Größen werden gesucht? Das können bei Gleichungssystemen zum Beispiel Preise oder auch Waren sein. 
  • Wie viele Unbekannte gibt es? Jeder Unbekannten muss eine eigene Variable zugeteilt werden. Welchen Buchstaben du benutzt, ist dabei egal.
  • Wie viele Gleichungen können aufgestellt werden? Der Text verrät dir Zusammenhänge zwischen den einzelnen Variablen sowie die jeweils zugehörigen Koeffizienten.

Sobald du dir im Klaren darüber bist, wie die Gleichungen aussehen müssen, kannst du das Gleichungssystem aufstellen. Achte dabei darauf, dass die gleichen Variablen und das Gleichheitszeichen möglichst untereinander stehen. Das gibt dir einen besseren Überblick und erleichtert dir zu erkennen, welche Umformungen du am besten vornehmen solltest.

Dann sollte dir das Auflösen von Gleichungssystemen nicht mehr schwerfallen!